Biljarten


Download biljart programma.
Download complete Delphi-7 project.

Dit artikel gaat over een simpel biljartspel:
de fysica van botsende ballen gesimuleerd met een Delphi programma.



Wat kan je met het programma?

Een bal in beweging zetten:
    1. zet muiswijzer op een bal.
    2. druk linker muisknop in en houd ingedrukt.
    3. beweeg muiswijzer om keu te tekenen.
    4. laat muisknop los om bal in beweging te zetten.
Ballen stilzetten:
    zet muiswijzer op biljarttafel en druk muisknop in
    of
    druk op de spatiebalk.
Twee keer de spatiebalk indrukken zet de ballen in hun oorspronkelijke positie.
Om de snelheid van de ballen te wijzigen:
    druk muisknop in boven de "speed" rotatie knop en beweeg de muiswijzer naar rechts of naar links.
Dit project dient om de balbewegingen te simuleren, niet om een spelletje te biljarten.
De ballen stoppen niet met bewegen wat niet erg realistisch is maar wel heel levendig.
Met weinig extra moeite is er wel een echt biljartspel van te maken:
    1. voeg wrijving toe zodat de balsnelheid afneemt.
    2. laat de lengte van de keu de snelheid van de bal bepalen.

Botsende ballen

We veronderstellen zogenaamde "elastische" botsingen.
Dat betekent dat een bal bij botsing tijdelijk iets wordt ingedrukt maar niet permanent van vorm verandert.
Er gaat geen energie verloren.

1. Botsen tegen de kant
Als een bal tegen de kant botst dan drukt de rand wat in.
Daardoor ontstaat een kracht tegengesteld aan de beweging.
Eerst vertraagt de bal om dan in de tegenovergestelde richting te versnellen.



In het plaatje hierboven is v de snelheid van de bal.
De bewegingsrichting is loodrecht op de rand.
In geval van andere richtingen moet de snelheid worden ontbonden in een horizontale- en een vertikale component.
Na de botsing is de balsnelheid de vectorsom van de horizontale- en de omgekeerde vertikale snelheid.



2.Botsingen tussen twee ballen.
Eerst de situatie waar ÚÚn bal stilstaat.
In het plaatje hieronder raakt de rode bal de stilstaande blauwe.
De bewegingsrichting is naar het middelpunt.
De rode bal vertraagt maar dezelfde kracht versnelt de blauwe bal.
Als de rode bal stilstaat beweegt de blauwe met dezelfde snelheid verder.



Nu de situatie waarin beide ballen verschillende snelheid hebben.
Stel hun snelheden zijn Vr en Vb en dat Vr = Vb + x.
Als x = 0 dan botsen de ballen om daarna in omgekeerde richting te bewegen met dezelfde snelheid.
Als de rode bal de stilstaande blauwe raakt met snelheid x,
dan zagen we al dat de blauwe bal de snelheid van de rode overneemt.
Deze bewegingen optellend zien we dat de rode bal beweegt met snelheid Vb
en de blauwe bal met snelheid (Vb+x).
De ballen verwisselen simpelweg van snelheid.



Beweging in willekeurige richtingen
Denk aan een lijn die de middelpunten van de ballen verbindt.
De balsnelheden moeten worden ontbonden in componenten in de richting van die lijn tussen de middelpunten
en de richting loodrecht daar op.
Opnieuw: de ballen verwisselen hun snelheid in de richting van de middelpuntslijn.



In het plaatje hierboven is alleen de snelheid van de rode bal ontbonden om onduidelijkheid te voorkomen.
De snelheid van de blauwe bal ontbinden we in componenten vBC en vBP
Na botsing zijn dan de snelheden van de ballen:
    rood : vBC + vRP
    blauw: vRC + vBP

Bewegingsrichting

De snelheid is aangegeven met een positief getal.
De richting staat in radialen:
    hoeken van -180...+180 graden zijn in radialen -p .. +p.
Merk nog op, dat in het co÷rdinatenstelsel de positieve (vertikale) Y richting omlaag is.
In het kwadrant rechtsonder zijn dus zowel x als y positief.
De balbeweging met poolco÷rdinaten aangevend is de snelheid altijd positief
en de hoek geeft de richting aan.



Hierboven staat de omzetting van Cartetische- naar poolco÷rdinaten.
Een snelheid ontbinden in twee loodrecht op elkaar staande richtingen is simpel:



d is de richting in radialen. Hoeken nemen toe bij draaiing met de klok mee.
Andere richtingen gaan vanzelf goed omdat de sinus en cosinus functies in andere kwadranten
het juiste teken verschaffen.
EÚn probleem blijft over: de arctangens functie ziet geen verschil tussen diagonaal liggende kwadranten.
Die geeft altijd een hoek tussen -p/2 en p/2



In de grafiek hierboven staat de hoek in graden.
De volgende functie verschaft wel de juiste richting:
function XYdirection(x,y : single) : single;
//geef richting (0,0) naar (x,y) in radialen (-pi .. + pi)
const pi05 = 0.5*pi;
begin
 if x = 0 then
  begin
   if y < 0 then result := -pi05 else result := pi05;
  end
  else begin
        result := arctan(y/x);
        if x < 0 then
         if y < 0 then result := result - pi
          else result := result + pi;
       end;
end;

Het Delphi programma

data formats.
const balldiameter = 30;
      ballradius = balldiameter * 0.5;
      speed = 0.25;  //pixels per step
      pi05 = pi*0.5;
      pi2  = pi*2;

type TBallcolor = (Redball,whiteball,blueball,noBall);
     TBall = record
              xpos : single;  //x coordinate of ball center
              ypos : single;  //y ..
              vel  : single;  //velocity
              dir  : single;  //direction
             end;

var bm : TBitmap;
    ballmap : array[redBall..blueBall] of Tbitmap;
    ball : array[redBall..blueBall] of TBall;
    eraseBall : TBitmap;
    moving,drawing : boolean;
    x1,y1,x2,y2 : smallInt;
    selected : TBallColor;
Bitmap (BM) heeft afmetingen 960*480 pixels, hetzelfde als paintbox1 op het form.
De randen zijn getekend op het canvas van het form, rondom de paintbox.

Voor elke bal is er een transparante bitmap.
Bij het starten wordt de inhoud eenmalig getekend.
De eraseMap is geheel groen en dient om ballen te wissen.

Nauwkeurigheid

Een bal start steeds met een snelheid van 0.25 pixels per stap.
Dat is de maximum snelheid.
Na elke stap wordt gekeken of er overlapping is ontstaan met een rand of een andere bal.
Kleine stapjes geven een nauwkeuriger positie van de botsing.
Na elke 8 stapjes wordt het scherm bijgewerkt om de nieuwe balposities weer te geven:
    1. wis de ballen
    2. teken de ballen op hun nieuwe posities
    3. kopieer de bitmap naar de paintbox op het form.

Timing

De computer heeft een milliseconden klok: functie gettickcount
levert het aantal milliseconden na het aanschakelen van de computer.
Probleem is dat deze klok ongeveer eens per 16 milliseconden wordt bijgewerkt.
Dat is veel te traag.

Een andere klok loopt op CPU snelheid.
Die gaan we gebruiken.
Processoren zijn er in verschillende snelheden zodat conversie nodig is
van de CPU klok naar de echte tijd.
Met dat laatste helpt procedure GetCPUticks die het aantal klokcycli geeft per microseconde.
Een 3GHz klok levert dus de waarde 3000.
Functie CPUtime geeft de CPU tijd in een 64 bit integer: het aantal klokcycli sinds inschakeling.

Voor de instelling van de balsnelheid is een rotation button toegevoegd onder de biljarttafel.
Deze knop is een zelfgemaakt component maar om de lezer niet te ontrieven heb ik de code toegevoegd
in een aparte unit zodat er geen vreemde componenten ge´nstalleerd hoeven te worden.

De rotatie knop levert waarden tussen 0 en 100.
Daarmee bepalen we de tijd tussen het bijwerken van de balposities.



De berekeningen van de nieuwe balposities vergt ongeveer 500 microseconden per 8 stappen. (bij een 3Ghz klok)
Delay waardes moeten variŰren van 1000 tot 10000 microseconden.
De delay waarde wordt relatief verhoogd, dus met steeds een vermenigvuldigfactor.



100 - buttonposition omdat een hogere waarde een kortere delay waarde moet opleveren.
variabele nextCPUtime = CPUtime + CPUticks * delay.

Bal beweging

Bij elke stap verandert de positie van een bal met zijn snelheid.
Eerst wordt gekeken of overlapping met een rand plaatsvindt.
Daarna vindt controle plaats op overlapping tussen rood/wit, rood/blauw of wit/blauw.
Procedure collision(a,b : TBallColor) voert die tests uit en berekent de nieuwe richting en snelheid van de ballen.

betekenis van de variabelen in procedure collision(a,b : TBallcolor)
xAbal a X co÷rdinaat
yAbal a Y co÷rdinaat
xB,yBbal b idem...
dAbal a richting
vAbal a snelheid, altijd positief
dB,vBbal b idem...
dafstand tussen middelpunten van de ballen a,b
dCCrichting van de lijn tussen de middelpunten
vACbal a snelheid in richting van de lijn door middelpunten (+ or -)
vAPbal a snelheid in richting loodrecht op vAC (+ or -)
vBC,vBPbal b idem...

Voor details verwijs ik naar de voorgaande theorie en de source code.