meetkunde puzzel (22)


Hieronder staat rechthoek ABCD met BD loodrecht op CE.
Bewijs dat BE x BA = (BC)2.



Dit doet denken aan "de macht van een punt t.o.v. een cirkel".
Dus eerst wat theorie.

De macht van een punt t.o.v. een cirkel

Vanuit een willekeurig punt P buiten een cirkel trekken we een lijn
die de cirkel snijdt in de punten A en B.
Nu doet zich een opmerkelijk verschijnsel voor:
het product van de afstanden PA x PB is steeds hetzelfde, welke lijn door P we ook trekken.
Dit produkt heet "de macht van P t.o.v. de cirkel".



bewijs



    PA.PB = (PN-d)(PN+d) = PN2 - d2.....1)
    PN2 = PM2 - MN2.....2)
    MN2 = r2 - d2.....3)
    ..2) + ..3) :
    PN2 = PM2 - r2 + d2.....4)
    ..1) + ..4):
    PA.PB = PM2 - r2 + d2 - d2 = PM2 - r2 = (PM-r)(PM+r) = PA' . PB'
Het product PA'. PB' is constant.

Oplossing 1

We beschouwen de cirkel door de punten A, E en C en de macht van B t.o.v. deze cirkel.



BE.BA = BC2 als BC raaklijn is van de cirkel oftewel:
Het middelpunt van de cirkel op de lijn CD ligt.

M is het snijpunt van de middelloodlijn van AE met CD.
Trek MG loodrecht op CE.
MG is middelloodlijn van CE wegens de congruentie van driehoeken MGE en MGC.
M is het snijpunt van middelloodlijnen dus middelpunt van de cirkel.

Omdat de macht van B t.o.v. de cirkel vast staat geldt: BE.BA = BC2.

Oplossing 2

Dit bewijs maakt gebruik van gelijkvormige driehoeken.
Zie de figuur hierboven: