Meetkunde probleem (4)


Onderstaand meetkunde probleem werd mij onlangs toegezonden:
Gegeven is deze driehoek met de aangegeven hoeken.
Gevraagd wordt hoek a te berekenen.
Er mag alleen gebruik worden gemaakt van meetkunde, geen goniometrie of vectormeetkunde.

Nu bleek de oplossing nog niet mee te vallen.
Pogingen met de stelling van Thales of rotaties leidden niet tot resultaat.

Jan Anseeuw (Roeselare, BelgiŽ) maakte mij erop attent dat dit probleem in 1922 door Langley is bedacht.
Met de verwijzing naar een mooie oplossing.

hier vat ik deze oplossing samen.

Voor mijn eigen oplossing heb ik het uitgangspunt wat veranderd :
De vraag luidt nu:

Vind de kortste route van P naar Q via lijn AT.
De route van een biljardbal dus.

De zwarte cijfers zijn de gegeven hoeken.
Alle rode hoeken zijn berekend.

Mijn oplossing

Spiegel Q in lijn AT, dat levert punt Q'.
PQ' snijdt AT in S.
Trek SQ.
Teken loodlijn op AT, in S.
Stel invalhoek = uitvalhoek = x.
Dan is LASP = 90-x

LSQQ' = x
LTQQ' = 90 - 20 = 70.
LSQP = 110 - x
LSPQ = 180 - (110 - x) - 2x = 70 - x
LSPA = 80 - (70 - x) = x + 10

Nu terug naar de originele opgave:
daarin is LAPS = 50, zodat LASP = 50
x + 10 = 50.........levert x = 40
en ook: 90 - x = 50......... levert x = 40

Dat is precies de originele opgave.
De gevraagde LAQS = 70 - x = 30 graden.

Naschrift

Om een stelling te bewijzen zijn er een paar soorten van aanpak:
    - berekenen (zoals de stelling van Pythagoras)
    - redeneren (zoals bij veel meetkundige stellingen)
    - tegenspraak (zoals het bewijs dat de wortel uit 2 geen breuk kan zijn)
    - inductie (zoals bij de formule voor kwadratensommen)
Maar bij dit vraagstuk zijn geen van bovenstaande methoden gebruikt.
Het ziet er naar uit, dat het oorspronkelijke probleem niet met meetkunde
(wel met goniometrie of vectormeetkunde) is op te lossen.
Maar het probleem blijkt een geval te zijn van een ander, wel met berekening oplosbaar probleem.
Hoe zou je zo'n methode moeten noemen? Herkenning?

De andere oplossing.

Toch een meetkundige, het kan dus wel.

Kern van deze oplossing zijn de hulplijnen AF en FD, waarbij LBAF=200.
Er is nu te bewijzen dat de rode lijnen (AB,AF,AD,DF,EF) gelijk zijn.

Het bewijs verloopt als volgt:
LAFB=800......{180-20-80}...zodat AB=AF

LABD=LADB=500.....zodat AB=AD...dus AD=AF

LAFD=600....{(180-60)/2}....dus AD=AF=DF

LAEF=400....{180-40-100}....dus AF=EF

Uit DF=EF volgt.....LDEF=700....{(180-40)/2}

Hoek a=70-40 = 300