over het onderwijs


Over het onderwijs wordt heel wat gediscussieerd.
Daarbij praat men dikwijls langs elkaar heen omdat ieder een ander gebied voor ogen heeft.
Dit artikel gaat over de wiskunde in het voortgezet onderwijs.
Maar ik vermoed dat voor het vak Nederlndse taal eenzelfde soort opmerkingen is te maken.

Kinderen worden onwetend geboren en moeten veel leren om zelfstandig in het leven te kunnen staan.
Voor het in stand houden van een hoogontwikkelde technologische samenleving moet veel exacte kennis
worden overgedragen.
De nieuwe generatie moet in staat zijn tot onderhoud en innovatie.
Dat laatste is nodig om zich aan te passen aan veranderende omstandigheden.

De over te dragen kennis is te splitsen in concrete en abstracte zaken.
De concrete, praktische kennis wordt in de praktijk opgedaan door zien en nadoen, met vallen en opstaan.
Zo leren we lopen of praten.

Abstracte kennis is pas waardevol bij toepassing in concrete situaties.
Een school is voor het leren hiervan geschikter dan de praktijk.
We denken dan bijvoorbeeld aan lezen, schrijven, rekenen. Kortom aan begrippen en symbolen.

We merken nog op, dat de school i.g.v. praktisch onderwijs een veilige leeromgeving schept.
12 jarigen laten we niet toe op steigers.

Nu wil het geval, dat Nederland zowel over- als onderopgeleid is.
Leerlingen zijn namelijk in te delen op de schaal van uitsluitend praktische- tot uitsluitend
theoretische belangstelling en aanleg.
De praktisch ingestelde leerling wordt thans lang in de schoolbanken gehouden en met theoretische leerstof getreiterd.
Dat bezorgt hem of haar een gevoel van inferioriteit, waar een trotse vakman/vrouw op zijn plaats zou zijn.
Dit systeem moet wel een bron zijn van frustratie en agressie.
De praktisch ingestelde leerling is praktisch onder- en theoretisch over-opgeleid.

Met de theoretisch ingestelde leerlingen is het tegenovergestelde het geval.
Bij het onderwijs aan deze leerlingen is bij diverse onderwijsvernieuwingen het abstractieniveau sterk gedaald.
Dat blijkt uit het feit dat algemeen vormende begrippen als definitie, stelling en bewijs
uit de leerstof zijn verdwenen. Formules vallen gewoon uit de lucht.
Niet dat er veel mis is met het eindniveau: het euvel zit namelijk vooral in de onderbouw van het V.W.O.
waar geen exacte werkwijze meer wordt aangeleerd.
Zo wordt zelden van bestaande resultaten (stellingen) gebruik gemaakt om nieuwe te vinden.
De wiskunde is zodoende een brij van losstaande feiten waar samenhang hoort te wezen.
Hierdoor is voor de exact geÔnteresseerde leerling de moeilijkheidsgraad nodeloos verhoogd.

Daarom is het voor velen op 16 jarige leeftijd te laat. Door onzekerheid en onkunde wordt geen exact profiel gekozen.
(En hebben de afgelopen decennia een overschot aan bedrijfskundigen, economen, -gogen en -logen opgeleverd)
De inhaalslag in het beta-profiel van de V.W.O. bovenbouw vereist namelijk een reeds in de wieg
meegekregen exacte aanleg.

Laat ik eerst een groot mankement van het wiskunde onderwijs in HAVO en VWO opnoemen.
De basis van de wiskunde is tellen.
Problemen worden vertaald naar getallen, waarmee bewerkingen mogelijk zijn.
Een van de basisbewerkingen is ontbinden in factoren als uitgangspunt voor de GGD
(grootste gemeenschappelijk deler) of KGV (kleinste gemeenschappelijke veelvoud).
Ook is ontbinden in factoren het vertrekpunt voor modulusrekenen en talstelsels.
Dat laatste is weer de basis van de digitale revolutie zoals die sinds de tachtiger jaren plaatsvindt.
En nu het onthutsende: bovenstaande kennis is geheel uit de leerboeken verdwenen.
Het wiskunde-onderwijs staat zodoende niet alleen op drijfzand, maar ontkent de realiteit ook nog eens.

Een andere vreemde constatering is dat in het toch theoretische wiskundeonderwijs aan HAVO en VWO
nooit wordt gesproken over de rol van getallen.
En dat terwijl de boekjesschrijvers zich uitsloven de wiskunde in realistische contexten
(dakbalken, wegen, marktkramen, konijnenhokken....) te plaatsen.
Welnu, de (abstracte) rol van getallen is

1. hoeveelheden (uren, kilo's, graden, voltages, meters)
2. factoren (procenten)
3. rangordes (perron 2, 4 sterren camping)
4. codes (pincode, ascii code, tramlijn 51)

In de vele wiskundeboeken die mij onder ogen kwamen trof ik een dergelijke indeling nog niet aan.

Nu een paar observaties over het huidige wiskundeonderwijs aan de onderbouw van het V.W.O.,
waar een leerling aan het eind van de derde klas

1. niet in staat is een eenvoudig stelseltje lineaire vergelijkingen op te lossen
2. over zeer geringe algebraÔsche vaardigheden beschikt, een grote handicap
3. weliswaar de betekenis weet van sinus, cosinus en tangens maar er geen enkele formule van kent
4. nog geen logaritme is tegengekomen

Ook wordt nooit melding gemaakt van de overeenkomst tussen lineaire- en exponentiŽle functies.
(de eerste is het gevolg van constante absolute - en de tweede van constante relatieve groei)

Tenslotte een paar aanbevelingen:

1.
Meer praktijkonderwijs in het VMBO. Maak theoretische vakken grotendeels facultatief.
Zoek differentiatie niet in theoretische vakken maar in ondernemerschap en bijvoorbeeld restauratiemetselwerk
(voor de bouwers) of scheepstimmerwerk (voor de timmerlieden).

2.
Verhoog het abstractieniveau in de onderbouw van het V.W.O.
Behandel talstelsels, modulusrekenen, GGD en KGV.
Zorg dat een leerling aan het eind van het eerste schooljaar een stelseltje van twee lineaire vergelijkingen kan oplossen.
Behandel in klas 3 formules met sinus, cosinus en tangens.
Behandel logaritmes in de onderbouw.
Voer de vlakke meetkunde in vanaf klas 1.
Planimetrie verschaft een eenvoudige context voor rekenen en redeneren en is onontbeerlijk
voor de studie van de wiskunde.
Verwijder kansrekening en statistiek uit de onderbouw.

3.
verlaag de leerplichtige leeftijd.

4.
Laat scholen vrij in het kiezen van de didactiek.

5.
Breng reeds in de onderbouw van HAVO/VWO differentiatie aan.
Op een school met 7 parallelklassen moet toch een bŤta klas en een talenklas zijn te formeren?

De afgelopen decennia heeft onderwijskundig Nederland grove fouten gemaakt.
Gelukkig is exacte kennis snel overdraagbaar mits niet te lang gewacht.
Het tij is dus binnen ťťn generatie te keren.
Wellicht levert dat weer een Nobelprijswinnaar op, want Nederland heeft talenten zat.

Nu zal menigeen zich afvragen hoe het zo ver heeft kunnen komen.
Dat is geen exacte wetenschap maar ik doe een gooi.
De diepere oorzaak is een onrealistisch streven naar gelijkheid.
Daarmee wordt economische gelijkheid bedoeld, een materiŽle visie dus.
Maar mensen zijn sterk ongelijk en zelfs niet gelijkwaardig (denk maar aan criminelen).
Het verschil in talenten is enorm.
Bovendien zijn er nog eens verschillende soorten van intelligentie, dus ook van domheid.
Een voetballer moet nu eenmaal over heel andere vaardigheden beschikken dan een elektrotechnisch ingenieur.
Deze verschillen hoeven niet problematisch te zijn, integendeel.
De cognitief sterken zullen misschien betere medicijnen ontwikkelen waaraan ze een leuke boterham verdienen.
Maar zonder de bakker, bouwvakker, de onderwijzer of buschauffeur zouden ze dat werk niet kunnen doen.
Wel profiteert die bakker of chauffeur ook van hun inspanningen.
Kortom: iedereen heeft elkaar nodig. De maatschappij functioneert dankzij het enorme verschil in talenten.

In de amusementswereld heeft men dat allang goed begrepen.
Het publiek betaalt om talenten in stadion of concertzaal aan het werk te zien.
Er wordt gejuicht en geklapt.
Na de voorstelling buigen de artiesten om hun publiek te bedanken.
Ze hebben elkaar nodig.