Stambreuken Elias C. Buissant des Amorie
David Dirkse


In dit artikel wordt beschreven hoe je een breuk kunt schrijven als som van stambreuken.
Een stambreuk is een breuk, die als teller 1 heeft.

Er is ook een (Windows) programma toegevoegd, dat de omzetting doet.
Klik op het download (bliksem) icoontje bovenaan deze pagina om het programma te downloaden.
Er is geen installatieprocedure. Kopieer het programma simpelweg naar een map.


In het oude Egypte kende men geen breuken zoals bij ons.
De Egyptenaren gebruikten voornamelijk stambreuken.
Dat zijn breuken met 1 als teller.
Er waren een paar uitzonderingen: men werkte wel met
2
3
en
3
4
,
waarvoor men ook speciale symbolen had.
Deze wetenschap hebben wij vooral uit de papyrus Rhind
(genoemd naar mr.A.H.Rhind, die deze papyrus kocht en later aan het Brits Museum vermaakte).
Deze papyrus bevat veel informatie over de stand van de wiskundekennis bij de Egyptenaren.

Zo werd
2
3
aangeduid als “de twee delen”.
De aanvulling tot 1 is dan “het derde deel”.
En misschien komt daar onze benaming voor “een derde” wel vandaan.
Bij deze zienswijze is het enigszins begrijpelijk dat men niet kon spreken van “drie vijfde”,
want er is dan maar één vijfde deel.

Opvallend is het dat de Egyptenaren breuken met teller 2 niet opsplitsten in de som van 2 gelijke stambreuken,
maar b.v. schreven
2
5
 = 
1
3
 + 
1
15
en
2
7
 = 
1
4
 + 
1
28

De techniek van het rekenen met breuken was behoorlijk ver ontwikkeld.

Elke onvereenvoudigbare breuk is te schrijven als de som van verschillende stambreuken, b.v.
8
11
 = 
1
2
 + 
1
5
 + 
1
37
 + 
1
4070

Maar die schrijfwijze is niet eenduidig zoals b.v. blijkt uit:
2
19
 = 
1
10
 + 
1
190
, maar ook
2
19
 = 
1
11
 + 
1
70
 + 
1
14630


Als we echter afspreken dat we steeds een zo groot mogelijke stambreuk afsplitsen, dan is de splitsing wel eenduidig.
Aan de hand van een voorbeeld tonen wij aan hoe dat te realiseren is.

Neem
5
11
.
Omdat 2 < 
11
5
 < 3
geldt
1
3
 < 
5
11
 < 
1
2

Daardoor is
1
3
de grootste stambreuk die kleiner is dan
5
11
.
Verminder
5
11
met
1
3

Dat levert
5
11
 − 
1
3
 = 
4
33
.
Omdat 8 < 
33
4
 < 9
geldt
1
9
 < 
4
33
 < 
1
8
.
Daardoor is
1
9
de grootste stambreuk die kleiner is dan
4
33
.
Verminder
4
33
met
1
9
.
Dat levert
4
33
 − 
1
9
 = 
1
99
.
Daarmee hebben we dus gevonden
5
11
 = 
1
3
 + 
1
9
 + 
1
99
.

Je ziet dat je steeds hetzelfde principe toepast.
Maar dat totale proces kan wel heel lang duren.
En het kan leiden tot stambreuken met een erg grote noemer.
Probeer maar eens
99
100
te schrijven als de som van verschillende stambreuken.
Als laatste noemer vonden wij 230409900.

In het programma kunnen stambreuken worden verwerkt met maximaal 19 cijfers in de noemer.
Daarboven wordt de mededeling gegeven: "denominator overflow".
Breuken die een overflow geven zijn o.a. 44/53 , 5/61 , 60/67.

De langste stambreuk splitsing levert de breuk 182/193.

Benieuwd naar het programma?
[HIER ] staat het hele Delphi-7 project.