de Stelling van Stewart


De Stelling van Stewart is een mooie toepassing van de stelling van Pythagoras.
Zie de figuur hieronder
Een driehoek heeft zijden a,b en c.
Een punt D op AB verdeelt AB in stukken van c1 en c2.
AE = p, CD = x

We berekenen een formule voor x als a, b, c, c1 en c2 bekend zijn.

Pythagoras in DEDC
    h2 = x2 - (c1 - p)2.........1)
Pythagoras in DAEC
    h2 = b2 - p2...................2)
...1) en ...2) combineren:
    x2 - c12 + 2.c1.p - p2 = b2 - p2
    x2 = b2 + c12 - 2.c1.p......................3)
Pythagoras in DEBC
    h2 = a2 - (c - p)2.................4)
...2) en ...4) combineren:
    a2 - c2 +2c.p - p2 = b2 - p2
    a2 = b2 + c2 - 2c.p...............5)
Nu ...3) en ...5) combineren
    x2 = b2 + c12 - 2.c1.p ........................x c
    a2 = b2 + c2 - 2c.p.............................x c1

    c.x2 = c.b2 + c.c12 - 2.c.c1.p.........................6)
    c1.a2 = c1.b2 + c1.c2 - 2c1c.p........................7)

.........6) - .......7) levert:
    c.x2 - c1.a2 = c.b2 + c.c12 - c1.b2 - c1.c2
    c.x2 - c1.a2 = b2(c - c1) - c.c1(c - c1)
    c.x2 = c1.a2 + c2b2 - c.c1.c2
Dit is de stelling van Stewart.

De stelling is bijvoorbeeld handig bij de berekening van de lengte van een deellijn of een zwaartelijn in een driehoek.
Als x zwaartelijn is dan geldt:
    x2 = 1/2 a2 + 1/2 b2 - 1/4 c2
En als x deellijn is dan
    x2 = ab - c1.c2
Het bewijs laat ik aan de lezer over.