de straal van in- en omgeschreven cirkels


de Straal van de omgeschreven cirkel
eerst een hulpstelling:
    Als twee driehoeken een hoek gelijk hebben, dan verhouden hun oppervlakten zich
    als het product van hun zijden om die hoek.
Zie de figuur hieronder:

DABC en DADE hebben LA gemeenschappelijk.
    opp.DABC : opp.DADC = (p.AB) : (p.AD) = AB : AD
    opp.DADC : opp.DADE = (q.AC) : (q.AE) = AC : AE
vermenigvuldigen met AC en met AD levert:
    AB : AD = (AB.AC) : (AD.AC)
    AC : AE = (AD.AC) : (AD.AE)
zodat
    opp.DABC : opp.DADE = (AB.AC) : (AD.AE)
Bekijk de figuur hieronder:

M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van DABC.

Nu is, volgens de stelling van Thales:
    LDMB = 0,5*LAMB = LC
zodat:
    opp.DABC : opp.DDMB = (AC.BC) : (DM.BM)
maar ook:
    opp.DABC : opp.DDMB = (
    c
    2
     h
    ) : (
    c
    4
     D M
    )
omdat
    BM = R {de straal}
    AC = b
    BC = a
    AB = c
volgt:
     
    a b
    D M.R

     
     
     = 
     
    c
    2
     h
    c
    4
     D M
en
    R = 
    a b
    2 h
Nu is opp.DABC = 0,5hc, zodat
    h = 2*opp.DABC / c en
de straal R van de omgeschreven cirkel wordt:
    R = (abc) / (4 * opp.DABC)

de straal van de Ingeschreven cirkel
Zie de figuur hieronder:
    2 * opp.DABC = ar + br + cr = r(a + b + c)
zodat:
    r = opp.DABC / s
Opmerking: s is de halve omtrek van de driehoek.

de straal van de Aangeschreven cirkel
zie de figuur hieronder:
De straal ra is
    ra = opp.DABC / (s -a)
waarbij:
    BC = a
    AC = b
    AB = c
    (a + b + c) / 2 = s
Het bewijs wordt aan de lezer overgelaten.

Voor wie zelf aan de slag wil:

r, ra , rb , rc zijn de in- en aangeschreven cirkels van DABC.

bewijs dat:

1. o p p.A B C = 
\r ra rb rc

2.
1
r
 = 
1
ra
 + 
1
rb
 + 
1
rc