Worteltrekken met Potlood & Papier


Inleiding
In dit artikel beschrijf ik de verborgen kunst van het worteltrekken met potlood en papier.
Als voorkennis is nodig dat de lezer redelijk goed kan hoofdrekenen.

Na enkele voorbeelden leg ik ook uit waarom de methode klopt.

Notatie: de wortel uit 100 schrijf ik hierna als W(100).

Voorbeelden
1.
We berekenen W(4096)

stap 1:
    verdeel het getal (van rechts naar links) in groepjes van 2 cijfers, dat levert : 40 | 96
stap 2:
    vind het cijfer dat in het kwadraat het dichtst onder de 40 ligt,
    dat is 6, want 6 * 6 = 36
stap 3:
    trek 36 af van 40 en schuif de volgende 2 cijfers (96) aan
	W(40 96)  =  6
	  36
	  ---
	   4 96
Het voorlopige antwoord is 6. De rest is 496

Stap 4:
    verdubbel het voorlopige antwoord, dat wordt dus 2 * 6 = 12
Stap 5:
    schrijf het voorlopige antwoord in de vorm 12? * ?
stap 6:
    vind het cijfer ? dat het getal oplevert dat het dichtst onder de rest ligt,
    of precies gelijk is aan de rest.
    Dat cijfer is 4, want 124 * 4 = 496
stap 7:
    trek af en vul cijfer in:
	W(40 96)  =  64
	  36
	  ---
	   4 96
	   4 96
	   ------
	      0
W(4086) = 64, want 64 *64 = 4096

2.
Berekening W(1522756)

- verdeel getal in groepjes van 2 cijfers, voeg 0 toe bij oneven aantal cijfers:
    01 | 52 | 27 | 56
- vind eerste kwadraat = 1
	W(01 52 27 56)  =  1
	   1
	  ---
	   0 52
- verdubbel antwoord: 2 * 1 = 2
- schrijf 2? * ?
- ? = 2
- 22 * 2 = 44
	W(01 52 27 56)  =  12
	   1
	  ---
	   0 52
	     44
	     ---
		8 27
- verdubbel voorlopige antwoord: 2 * 12 = 24
- schrijf 24? * ?
- ? = 3, want 243 * 3 = 729
	W(01 52 27 56)  =  123
	   1
	  ---
	   0 52
	     44
	     ---
		8 27
		7 29
		------
		  98 56
- verdubbel voorlopig antwoord: 2 * 123 = 246
- schrijf 246? * ?
- vind ? = 4 ( 3 te klein, 5 te groot)
- 2464 * 4 = 9856
	W(01 52 27 56)  =  1234
	   1
	  ---
	   0 52
	     44
	     ---
		8 27
		7 29
		------
		  98 56
		  98 56
		  -----
		      0

3.
Berekening W(5).
Omdat 5 geen kwadraat is, zal het antwoord een benadering zijn.
- schrijf 05| , 00 | 00 | 00 ................
- eerste kwadraat = 2
	W(05)  =  2,
	   4
	  ---
	   1 00
Laat komma in antwoord staan, maar gebruik de komma verder niet.

- verdubbel antwoord: 2 * 2 = 4
- schrijf 4? * ?
- ? = 2
- 42 * 2 = 84
	W(05)  =  2,2
	   4
	  ---
	   1 00
	     84
	     ---
		16 00
- verdubbel antwoord : 2 * 22 = 44
- schrijf als 44? * ?
- vind ? = 3
- 443 * 3 = 1329
- trek af
	W(05)  =  2,23
	   4
	  ---
	   1 00
	     84
	     ---
		16 00
		13 29
		-----
		 2 71 00
- verdubbel antwoord : 2 * 223 = 446
- schrijf als 446? * ?
- ? = 6
- 4466 * 6 = 26796
	W(05)  =  2,236
	   4
	  ---
	   1 00
	     84
	     ---
		16 00
		13 29
		-----
		 2 71 00
		 2 67 96
		 -------
		    3 04
- verdubbel antwoord : 2 * 2236 = 4472
- schrijf als 4472? * ?
- ? = 0, dus alleen 2 nullen bijtrekken
	W(05)  =  2,2360
	   4
	  ---
	   1 00
	     84
	     ---
		16 00
		13 29
		-----
		 2 71 00
		 2 67 96
		 -------
		    3 04 00
- voorgaande stappen herhalen voor steeds nauwkeuriger antwoord.

Waarom deze methode werkt
De kern van de methode is het merkwaardige product
    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Voor de uitleg voeren we tijdelijk een notatie in:
als een getal bestaat uit de cijfers a en b dan schrijven we dat als
    [ab] = 10a + b
dus
    [abc] = 100a + 10b + c
    [23b] = 230 + b
    [(2*3)b] = [6b] = 60 + b
Als voorbeeld nemen we weer de wortel uit 4096.
Laat het antwoord zijn : [ab] = 10a + b zodat
    4096 = [ab]2 = (10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2 = 100a2 + (20a + b)b = 100a2 + [(2a)b]*b
We moeten de cijfers a en b zien te vinden.
Schrijf het getal tijdelijk als 40,96
Nu is
    62 = 36 < 40 en 72 = 49 > 40,
    a = 6
    [6b]2 = 4096 = 36 00 + 2*10*6b + b2
    rest = 4096 - 36 00 = (120 + b)*b = [12b]*b
    [12b]*b = 496
    b = 4
maar dat is nu precies wat we eerder deden: in 12? * ? de waarde van ? bepalen.
Alleen staat er nu een b in plaats van een ?

Nog een voorbeeld
W(01 52 27 56)
Schrijf even als W(01,52 27 56)
dat levert op
    a = 1
    schrijf nu het getal als 1 52,27 56 ....{schuif komma 2 plaatsen naar rechts}
    [1b]2 = 1 00 + 2*10*b + b2 = 152 ,27 56
    rest = [1b]2 - 1 00 = 2*10*b + b = [2b]*b
    [2b]*b = 1 52, 27 56 - 100 = 52, 27 56
    b = 2
Het voorlopige antwoord is [12].
En nu komt de truc:
beschouw [12] als de nieuwe waarde van a en zoek de waarde van b in [12b]

Schrijf dus het oorspronkelijke getal als 152 27, 56
Vermenigvuldig het voorlopige antwoord met 10 en voeg cijfer b in, dat levert [12b]
Tijdens de berekening is [120]2 al van 1 5227, 56 afgetrokken:
    rest = 1 5227, 56 - 14400 = 827, 56
Op de inmiddels vertrouwde wijze vinden we dan b = 3, dus [123]
We schuiven de komma weer 2 plaatsen naar rechts (in het kwadraat) en
vermenigvuldigen de voorlopige wortel met 10:
    1 52 27 56 - 12 302 = 9856
De bijbehorende waarde van b is 4 en de rest is 0.

De algemene uitleg
Stel dat we de wortel willen berekenen uit een getal van 8 cijfers = xx xx xx xx xx.
    stapactie
    1schrijf getal als xx,xx xx xx = a,..2
    2bereken a (voorlopig antwoord) en trek af : rest = getal - a2
    3vermenigvuldig rest met 100 en voorlopig antwoord met 10
    4bereken b in [ab]
    5bereken nieuwe rest = rest - [(2a)b]*b
    6nieuwe a = [ab]
    7herhaal stappen 3 .. 7
Met de komma komt het vanzelf goed.
Elke twee cijfers van het kwadraat leveren één cijfer van het antwoord.
De introductie van de komma was alleen handig om het proces te beschrijven.