Cursus Algebra (2)

inhoudsopgave

1. negatieve getallen, termen, factoren, rekenregels,vergelijkingen

3. coördinatenstelsel,lijnen,spiegelen,verschuiven,roteren

4. kwadratische functies,ABC formule,parabool,cirkel,ellips,analytische meetkunde

5. machten,wortels,exponentiële functies,logaritmes,groeisnelheid,grondtal e

inhoud deel 2

Inleiding en korte herhaling

"Platte" formules

Getallen : Soorten en Toepassing

Afkappen en Afronden

Neutrale getallen en Inversen

Functies

Verhoudingen

Gelijkvormigheid

Lineaire Vergelijkingen

Rekenen met Wortels

Haakjes wegwerken

Ontbinden in factoren

De Zwaartelijn Formule

doe de test

naar algebra 3

Commentaar

Inleiding algebra-2
Algebra is de taal- en het gereedschap van de wiskunde.
Algebra is rekenen met letters.
Een letter staat dan in de plaats van een getal, dat nog niet bekend is.
Een berekening waarin letters (nog) voorkomen heet een formule.

Een letter kan een variable zijn, d.w.z. we kunnen elke waarde invullen, maar kan ook
een constante zijn. Dat laatste lijkt op het eerste gezicht vreemd.
Neem de formule A = pr² waarin A de oppervlakte is van een cirkel met straal r.
r is hier een variabele : we kunnen elk (positief) getal ervoor invullen.
p is een constante, ongeveer 3,1415....., die niet precies is te schrijven.
Hoe meer decimalen, hoe nauwkeuriger.
Door een letter te gebruiken en niet 3,1415 weten we precies wat er wordt bedoeld en kunnen we
later net zo veel decimalen voor p invullen als nodig zijn.
Dat is het voordeel van letters in de plaats van getallen.
Een letter is precies, een getal (in dit geval p ) is vaak een afronding of benadering.

Merk op : binnen een computer is een variable een geheugen-adres, een plekje in het computer-geheugen
waar we een getal kunnen opslaan.

Een formule is een soort recept om iets te berekenen.
Om een formule toe te passen om bijvoorbeeld de oppervlakte van een cirkel
te berekenen, hoeven we niet te weten hoe die formule is ontstaan.
Het is alleen nodig, dat we de getallen goed kunnen invullen (letters door getallen vervangen) en de berekening
kunnen maken.
Dat vervangen van letters door getallen heeft een naam : substitutie

Substituties en berekeningen kunnen we alleen foutloos maken als we de voorrangsregels goed kennen.
Volledigheidshalve worden ze hier nog even genoemd:

- berekingen van links naar rechts, maar eerst
- (...berekeningen tussen haakjes......) en dan
- machten en wortels, waarna
- vermenigvuldigen en delen, waarna tenslotte
- optellen en aftrekken.

Voorbeelden van Substitutie
1.
x = -4, bereken 3x² - 2x + 5.
schrijf eerst : 3(x)² - 2(x) + 5
vervang dan x door -4 : 3(-4)²- 2.(-4) + 5 = 3.16 - (-8) + 5 = 48 + 8 + 5 = 61
2.
a = 2, b= -1, c = 0. bereken 5ab - 3ac + 10b^a
schrijf eerst : 5(a)(b) - 3(a)(c) + 10(b)^a
invullen: 5(2)(-1) - 3(2)(0) + 10(-1)² = -10 - 0 + 10 = 0
3.
a = -3, b= 6. Bereken 5(3a+5b)^a+b
schrijf eerst: 5(3(a)+5(b))^(a)+(b)
invullen: 5(3(-3)+5(6))^(-3)+(6) = 5(-9 + 30)³ = 5.21³ = 46305
4.
Stel, dat we de omtrek (P) van een cirkel weten en daaruit de oppervlakte (A) willen berekenen.
We zoeken dan een formule A = ...P...
Nu is bekend, dat A = pr² en ook P = 2pr
Uit dat laatste volgt r = 

P

2 p

In A = p( r )² vervangen we nu r, waarna
A = p 

	2
æ P 2 p ö ­ ­ è ø

...zodat..... A = 

p P 2

4 p 2

....dus..... A = 

P 2

4 p

5.
a = 5, b = -3. Bereken (12 - 2a)(b + 10)
(12 - (2.5))(-3 + 10) = 2 . 7 = 14

Merk op: Substitutie kan ook inhouden het vervangen van letters door een formule.

Om formules te verbouwen of om nieuwe formules te ontwerpen moeten we rekenregels kennen.
Nieuwe formules ontstaan door subsititutie van reeds bekende formules en de toepassing van rekenregels.
In dit deel (2) zullen we veel nieuwe rekenregels tegenkomen.
De bekendste, maar helaas vaak vergeten of fout toegepaste, rekenregels zijn die voor de breuken.
Ook die herhalen we hier even:

(+) regel :	a c  +  b c  =  a + b c	bij gelijkblijvende noemers tellers optellen
(*) regel :	a b  ·  c d  =  a c b d	teller * teller, noemer * noemer

Uit deze twee regels volgen alle andere regels, zoals

a b  =  a p b p	een breuk verandert niet als teller en noemer met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd (gedeeld)
a p q  =    a ·  q p	delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met zijn omgekeerde
a b  +  c d  =  a d + b c b d	Breuken gelijknamig maken

merk op : elke geheel getal is als breuk te schrijven, want a = 

a

1

Kijk [hier] voor meer uitleg over rekenen met breuken.

Voorbeelden van berekeningen met breuken
1.
wat is meer:

5

13

of

9

25

?

Maak de noemers gelijk :

5

13

 = 

125

325

en

9

25

 = 

117

325

........ zodat ...........

5

13

de grootste waarde heeft.

2.
tel op en schrijf als één breuk:

8 x + 1

4 x − 3

 + 

2

5

 = 

5 (8 x + 1) + 2 (4 x − 3)

5 (4 x − 3)

=

40 x + 5 + 8 x − 6

5 (4 x − 3)

 = 

48 x − 1

5 (4 x − 3)

3.
vereenvoudig:

45 x + 30

9 x + 6

 = 

15 (3 x + 2)

3 (3 x + 2)

 = 5

4.
Een zoutoplossing met een concentratie van 25 betekent, dat een liter vloeistof 25 gram zout bevat.
In een fles bevindt zich V liter water met een concentratie van c.
Welk volume zuiver water moet worden toegevoegd, om de zoutconcentratie te verlagen tot d (gram/liter)?

De fles bevat Vc gram zout.
Na toevoeging van W liter zuiver water is de concentratie

d = 

c V

V + W


d(V + W) = cV
dW = cV - dV
W = 

V (c − d)

d

5. (anders schrijven)

gegeven:
abc = abd + acd + bcd
als we elke term delen door abcd, dan ontstaat:


1

d

 = 

1

c

 + 

1

b

 + 

1

a

6.(zie figuur 1)

fig.1

Je ziet een buizenstelsel met aangegeven de stroomrichting.
Bij A is niet bekend hoe het water zich verdeelt.
Bij B komt echter 50% van het water van A.
Gevraagd: de verdeling bij A.

Aanpak: stel deel p van het water bij A stroomt naar C,
dus deel (1-p) stroomt naar D.
Ga uit van 1 liter bij A, dat levert bij B op 0,5 liter en
we kunnen de vergelijking opschrijven:

0,7p + 0,4(1 - p) = 0,5
zodat
0,3p = 0,1
p = 0,33333

Eén derde deel van het water bij A stroomt dus naar C.

Voor de volledigheid noemen we hier ook de rekenregels voor machten:

a^p . a^q = a^p+q
(a^p)^q = a^pq


a p

a q

 = a ^p − q

Voorbeelden van berekeningen met machten
1.(vereenvoudig)
x⁶(x³-3x) - x²(5x⁷- 3x⁵) = x⁹-3x⁷-5x⁹+3x⁷ = -4x⁹

2.(vereenvoudig)

(x 2 + 5 x) 2

(2 x + 10) 2

 = 

(x (x + 5)) 2

(2 (x + 5)) 2

 = 

x 2 (x + 5) 2

4 (x + 5) 2

 = 

x 2

4

3.

(x 3 y 5) 6

(x 9 y 15) 2

 = 

x 18 y 30

x 18 y 30

 = 1

Klik [hier] voor extra oefeningen met substitutie, breuken en machten.

"platte" formules
Bij programmeertalen voeren we formules in met tekstverwerkers.
Die tekstverwerkers kunnen alleen per regel werken, dus breukstrepen met tellers
en noemers en ook machten zijn niet mogelijk.
We nemen aan, dat een programmeertaal deze operatoren (operator = symbool voor een bewerking) kent

+ optellen
- aftrekken
* vermenigvuldigen
/ delen
^ machtverheffen

Om "echte" formules naar platte (regels) om te zetten is goede kennis van de voorrangsregels nodig.

Voorbeelden(schrijf als 1-regelige formule)
1.

	n − 1
æ a b ö ­ ­ è ø

= (a/b)^(n-1)
2.

a + 5

b c

= (a+5) / (bc)
3.

5

3 +  7 2 p − 4

= 5 / (3 + 7/(2p-4))

Het vergeten van haakjes is één van de meest gemaakte fouten.

Klik [hier] voor extra oefeningen met het pletten van formules (plus antwoorden).

Getallen : Soorten en Toepassing
Wiskunde gaat over getallen en de bewerkingen daarmee.
Die getallen verschaffen informatie over een situatie of over eigenschappen van objecten.
Niet elk getal heeft in elke situatie betekenis.
Zo zijn er geen boeken met een negatief aantal bladzijden of gezinnen met 3,2 kind.
Niet elke berekening altijd een betekenis.
Het is daarom nuttig, de verschillende "soorten" getallen te onderscheiden.

1. de natuurlijke getallen
Dat zijn de getallen 0,1,2,3,.......enzovoorts, oneindig veel.
Het aantal routes van A naar B, het aantal kamers van een huis,
het aantal delers van 360 : allemaal natuurlijke getallen.

2. de gehele getallen
Dat zijn de getallen ....., -3, -2, -1, 0 , 1, 2 , 3,.............
Voorbeelden van negatieve getallen zijn: banksaldo, plaats op een lijn t.o.v. het nulpunt,
temperatuur in graden Celsius.
De gehele getallen zijn een uitbreiding van de natuurlijke getallen.

3. de reële getallen
Dit zijn getallen als -2,56 of 5 of 99,99.
De reële getallen zijn weer een uitbreiding van de gehele getallen.
Een reëel getal zal vaak een afronding zijn, verkregen uit een meting of berekening.
Zo is de breuk 2/3 , in het tientallig stelsel afgerond op 2 decimalen, gelijk aan 0,67

De rol van getallen
In het dagelijks leven komen we getallen tegen als hoeveelheid liters, aantal meters,
graden, secondes, euro's, kilowattuur enzovoorts.
Kortom als hoeveelheid, als aantal van een afgesproken eenheid.
De eenheid waarmee we dan rekenen wordt "dimensie" genoemd.
We kunnen alleen getallen met dezelfde dimensie optellen.( en aftrekken)
Als we getallen (met hun dimensie) vermenigvuldigen dan heeft het product een nieuwe dimensie.
Zo is meter * meter = m², vierkante meter.
En mensen * jaren (werk) = manjaren.

Maar zijn er ook andere rollen (dan hoeveelheid) voor een getal weggelegd?
Ja, die zijn er.
- Een factor is een getal waarmee we een hoeveelheid vermenigvuldigen.
Een factor heeft geen dimensie.
Als we twee getallen delen die dezelfde dimensie hebben, dan is het quotient een factor, dimensieloos.
Een hoeveelheid vermenigvuldigen met een factor verandert de dimensie niet.
- Rangorde. Dat is een getal dat alleen maar de plaats in een rijtje aangeeft.
- Code. Dat is een getal (of combinatie van letters, cijfers of andere symbolen)
waar een afgesproken verhaal of situatie bij hoort

Alles nog eens op een rijtje

soort getal	voorbeelden
hoeveelheid	meters, seconden, kilo's, graden Celsius
factor	10%, het dubbele, de helft
rangorde	4 sterren hotel, perron 2A, Willem 3
code	pincode, bus 167, vlucht KL123, ASCII code

Vectoren
Om een situatie aan te geven zal vaak één getal niet voldoende zijn.
Denk maar aan de uitslag van een voetbalwedstrijd: 2 - 3, bijvoorbeeld.
Een rijtje getallen dat iets beschrijft heet een vector.
Een vector wordt geschreven als (getal₁, getal₁,.....) dus getallen tussen haakjes
en gescheiden door komma's.
De voetbaluitslag kunnen we schrijven als (2,3) waarbij dan wel moet worden afgesproken dat het eerste cijfer
de score is van de thuisclub en het tweede cijfer de score van de bezoekers.

Getallenlijn

Om de plaats van een punt op een lijn aan te geven zijn drie dingen nodig:
1...........op de lijn moet een nulpunt gekozen zijn
2...........de lijn moet een schaalverdeling bezitten om afstanden te kunnen aangeven
3...........een getal, dat de plaats van het punt op de lijn aangeeft

Coördinatenstelsel
Om de plaats van een punt in een vlak aan te geven plaatsen we in dat vlak
twee lijnen (met schaalverdeling) , die loodrecht op elkaar staan.
We noemen de vertikale lijn de Y-as en de horizontale lijn de X-as.
Dit heet een rechthoekig coördinatenstelsel.

De plaats van een punt geven we aan met zijn (2) afstanden tot de assen,
dus met een vector (afstand tot Y-as, afstand tot X-as), dus (horizontale afstand, vertikale afstand)
oftewel (x richting, y richting).

Deze twee getallen noemen we de coördinaten van een punt.
Het eerste getal heet de X- coördinaat en het tweede de Y- coördinaat.
Het snijpunt van de assen heet de oorsprong en heeft coördinaten (0 , 0).

In de figuur hierboven zie je de punten P,Q,R en S met hun coördinaten.
De coördinaten zijn op te vatten als een routebeschrijving vanuit de oorsprong (0,0) naar het punt.
Een willekeurig punt op de X-as heeft coördinaten (x, 0).
Een willekeurig punt op de Y-as heeft coördinaten (0 , y).

Wanneer onze berekeningen zich niet afspelen in een plat vlak, maar
op de oppervlakte van een bol of cilinder, dan zijn weer andere coördinatenstelsels handig.

Afkappen en Afronden
Het aantal bezoekers van een stadion wordt gewoonlijk aangegeven in duizendtallen.
Want het is niet interessant te weten dat er 25.123 in plaats van 25.125 bezoekers waren.
Bij huis- tuin- en keukenberekeningen met cirkels is het voldoende p op 3,14
dus honderdsten, af te ronden in plaats van 3,141592654 te gebruiken.
Ook geven we geen leeftijd op van 17,862 jaren, maar kappen we alles achter de komma af.
Pas als we 18 volle jaren erop hebben zitten mogen we ons volwassen noemen.

Afkappen
Afkappen op eenheden houdt in : cijfers achter de komma weglaten.
Afkappen op 10-tallen houdt in : alle cijfers weglaten, die minder nauwkeurig zijn dan tientallen.
Truc : deel door 10, kap cijfers achter de komma af en vermenigvuldig weer met 10.
Afkappen op honderdsten : vermenigvuldig met 100, kap cijfers achter de komma af en
deel weer door 100.
Algemeen:
getal A afkappen op n tallen :

- deel a door n
- verwijder cijfers achter de komma
- vermenigvuldig met n

Voorbeelden
1.
12345 afkappen op honderdtallen.
12345 / 100 = 123,45.
123 * 100 = 12300

2.
1,9876 afkappen op duizendsten.
1,9876 / 0,001 = 1987,6.
1987 * 0,001 = 1,987
3.
1357 afkappen op 25 tallen.
1357 / 25 = 54,28
54 * 25 = 1350

Afronden

Bij afronden op eenheden nemen we de dichts bijstaande eenheid.
Met de afspraak, dat halven omhoog worden afgerond.
Bedenk, dat getallen op een lijn kunnen worden afgebeeld.
Zie plaatje hierboven, dat afronden op eenheden illustreert.

Als we "afronden" vergelijken met "afkappen", dan zien we een verschuiving van 0,5
0,1......0,999 levert "afgekapt" nul op.
0,1....0,49999 levert afgerond nul op.
0,5....0,9999 levert afgerond 1 op.
Dat brengt ons tot de volgende algemene methode voor afronding (rekenmachines werken zo)
Getal A afronden op n tallen:

- tel n/2 bij A op
- deel door n
- kap cijfers achter de komma af
- vermenigvuldig met n

Voorbeelden
1.
12347 afronden op tientallen.
12347 + 5 = 12352
12352 / 10 = 1235,2.
1235 * 10 = 12350
2.
1,9876 afronden op duizendsten.
1,9876 + 0,0005 = 1,9881
1,9881 / 0,001 = 1988,1.
1988 * 0,001 = 1,988
3.
1357 afronden op 25 tallen.
1357 + 12,5 = 1369,5
1369,5 / 25 = 54,78
54 * 25 = 1350


Klik [hier] voor extra oefeningen.

Neutrale getallen en Inversen
Optellen
Bij de bewerking "optellen" neemt het getal 0 een speciale plaats in.
Als we namelijk ergens 0 bijtellen, dan verandert er niets.

Algemeen.....: a + 0 = a

Het getal 0 wordt daarom genoemd het neutrale getal voor de bewerking optellen.

Voor elk getal a bestaat er een getal (-a) en er geldt:

a + (-a) = 0

(-a) noemen we de + inverse van a.
De optelling van een getal en zijn inverse levert het neutrale getal 0 op.

Laten we eens nauwkeurig kijken naar de vergelijking

x + 17 = 60

De (+) inverse van 17 is (-17) , die waarde tellen we links en rechts van het = teken bij

x + 17 + (-17) = 60 + (-17)

Nu passen we de associatieve wet toe nl. a + b + c = a + (b + c) zodat

x + 0 = 43
x = 43

Om de vergelijking x + 17 = 60 te kunnen oplossen, moet 17 dus een inverse hebben
en tevens moet de associatieve wet gelden.

Bovenstaande mag op het eerste gezicht wat overdreven aandoen, maar dan moet worden bedacht
dat het doel van de wiskunde is het beschrijven van processen.
Bij huis- tuin- en keukentoepassingen hoeven we ons niet zo om het bestaan van inversen of wetten
te bekommeren, maar afhankelijk van het gebied waarop we ons begeven zijn er verschillende
soorten algebra met andere betekenis van de getallen en andere typen bewerkingen.
De Booleaanse algebra bijvoorbeeld wordt gebruikt om computerhardware te ontwikkelen.
Met deze algebra kunnen formules worden opgesteld en ook vereenvoudigd, maar er kunnen geen
vergelijkingen worden opgelost omdat de getallen geen inversen hebben.

Als we ons beperken tot een klok die telt van 0....12 waarbij 12 gelijk is aan 0,
dan is de volgende berekening waar:
..............11 + 3 = 2
En de (+) inverse van 4 is gelijk aan 8, want 4 + 8 = 0
het is maar wat we beschrijven.

Voorbeelden
1. de (+) inverse van 99 is -99
2. de (+) inverse van -2,78 is 2,78
3. de (+) inverse van 3x + 16 is -(3x + 16) = -3x - 16
4. de (+) inverse van 5x² + 3x - 7 is -(5x² + 3x - 7) = -5x² - 3x +7
5. de (+) inverse van 2

1

3

........is........ -2

1

3

Aftrekken
Aftrekken levert het verschil van twee getallen.
Een aftrekking kan als optelling worden geschreven, want:

a - b = a + (-b)

Algemene regel :

uit......... a + b = c ...volgt.... a = c + (-b)

In woorden:

een term die naar de andere kant van het '=' teken verhuist,
moet door zijn (+) inverse worden vervangen

Computerprocessors hebben geen aparte circuits voor de bewerking (-).
Wel kan de (+) inverse van een getal worden bepaald, dat is in het 2-tallig stelsel erg eenvoudig.
Er worden circuits uitgespaard, door van een aftrekking een optelling te maken.

Vermenigvuldigen
Bij deze bewerking neemt het getal 1 een speciale plaats in.
Wordt namelijk met 1 vermenigvuldigd, dan verandert er niets.

Algemeen...........: a .1 = a

Het getal 1 wordt daarom genoemd het neutrale getal voor de bewerking vermenigvuldigen.
Voor elk getal a (ongelijk 0) bestaat er een getal

1

a

....zodat geldt:

a .

1

a

= 1

1

a

...noemen we de * inverse van a.
De vermenigvuldiging van een getal en zijn (*) inverse levert het neutrale getal 1 op.

Over wat voor bewerking we het ook hebben (+ of *) :

de bewerking van een getal met zijn inverse, levert het neutrale getal op

Laten we eens nauwkeurig kijken naar de vergelijking

7.x = 35

De (*) inverse van 7 is....

1

7

, met die waarde vermenigvuldigen we links en rechts van het = teken:

1

7

.7.x =

1

7

.35
1.x = 5
x = 5

Voorbeelden
1. de (*) inverse van 10 is 0,1
2. de (*) inverse van -8 is -0,125
3. de (*) inverse van

p

q

is

q

p

4. de (*) inverse van 5x - 3 is

1

5 x − 3

5. de (*) inverse van 2

3

7

 = 

17

7

........is........

7

17

merk op: het getal 0 heeft geen (*) inverse, zodat de vergelijking 0.x = 10 geen oplossing heeft.

Delen
Delen is bepalen hoe vaak een getal in een ander getal 'past'.
Omdat:

a

b

 = a · 

1

b

...... is een deling te schrijven als vermenigvuldiging met de (*) inverse.

Algemene regel:
uit..... a b = c .....volgt..... a = c · 

1

b

In woorden:

een factor die naar de andere kant van het = teken verhuist,
moet door zijn (*) inverse worden vervangen.

De computerprocessors die ik ken, hadden aparte circuits voor de bewerking delen.
De snellere computers konden zelfs meerdere delingen gelijktijdig uitvoeren, omdat delen een
relatief trage bewerking is.
De Cray-YMP processor, eens behorend tot de snelste ter wereld, kende geen hardware
om te delen, maar kon alleen de (*) inverse berekenen.

Inversen zijn een belangrijk begrip in de wiskunde.
De abstracte algebra verschaft de basis voor exotische rekensystemen
zoals bijvoorbeeld nodig bij berekeningen van codes.

Functies
Een berekening met één uitkomst wordt in de wiskunde een functie genoemd.
Neem als voorbeeld de berekening 2x - 5.
x is hier de (onafhankelijke) variabele, waarvoor we een getal kunnen invullen.
De uitkomst kunnen we y noemen en
..............y = 2x - 5............noemen we de "technische" notatie van een functie:
Door de berekening met een letter aan te geven (meestal de letter f , g of h) ontstaat de "functie" notatie:
.............f(x) = 2x - 5

In programmeertalen wordt uitsluitend gewerkt met functies.
Programmeren komt neer op het bouwen van datastructuren en functies die de data
(getallen, gegevens) manipuleren.

x heet in programmeer-termen een "formele parameter"
zo is in het voorbeeld van de functie hierboven:
............f(0) = 2.0 - 5 = -5
............f(10) = 2.10 - 5 = 15
...........f(p + 1) = 2(p + 1) - 5 = 2p - 3

Bovenstaand voorbeeld heet een ....functie met 1 variabele....{namelijk x}
Schematische weergave:

Voorbeeld
Bergwandelaars schatten de de tijdsduur van een tocht op 1 uur per 5 km.
plus 1 extra uur per 250 m. hoogteverschil.
Stel dat een tocht k km. lang is (op de kaart) en h meter hoogteverschil moet worden overwonnen.
Gevraagd, een functie f(k,h) op te stellen, waarmee de verwachte tijdsduur berekend kan worden.

f(k,h) = 0,2k + 0,004h is dan de gevraagde functie (met 2 variabelen).

f(18 , 1200) = 0,2.18 + 0,004 . 1200 = 8,4 levert dus de tijdsduur van een tocht van
18 km met een hoogteverschil van 1200 meter.

Met functies kan ook worden gerekend.
Stel, dat f(x) = 3x -1.........en.........g(x) = x + 10, dan
...........f(x) + g(x) = 3x - 1 + x + 10 = 4x + 9
...........f(x) - g(x) = 3x - 1 - (x + 10) = 3x - 1 - x - 10 = 2x - 11

Voorbeeld
Jan bezit € 150 en spaart € 25 per week.
Piet bezit € 35 en spaart € 30 per week.
Gevraagd : een functie V(t) die het verschil in spaargeld van Jan en Piet aangeeft.
Stel functie J(t) geeft het spaargeld van Jan aan na t weken:
.........J(t) = 150 + 25t
.........P(t) = 35 + 30t
.........V(t) = P(t) - J(t) = 35 + 30t - (150 + 25t)
.........V(t) = 5t - 115

Compositie
De uitkomst van de ene functie kan weer als invoer van een andere functie gebruikt worden.
Dat achter elkaar schakelen van functies heet "compositie" . Notatie:
.................f(g(x)).................eerste g(x) uitrekenen en de waarde invoeren in f(..)
en we vragen ons af........is f(g(x)) gelijk aan g(f(x))........?

Opmerking: compositie wordt ook wel met de operator ° aangegeven

(f(g(x)) = (g ° f)(x)
g(f(x)) = (f ° g)(x).

Eerst eens schema's opstellen:

Beschouw de bovenste regel van het schema: 3x - 1 moet de x van functie g vervangen,
zodat ..... g(f(x)) = (3x - 1) + 10 = 3x + 9.
Beschouw nu de onderste regel: (x + 10) van g moet de x van functie f vervangen,
zodat ..... f(g(x)) = 3(x + 10) - 1 = 3x + 29

Conclusie:..........compositie van functies is niet commutatief, want (f ° g) is ongelijk aan (g ° f)

Inverse functies
De neutrale functie "doet" niets zodat die functie luidt:.......f(x) = x.
De inverse functie , geschreven f ^-1(x) houdt in, dat voor de compositie geldt:
...........f ^-1(f(x)) = x

Om de inverse functie van f te bepalen splitsen we de berekening uit in elementaire operaties:

Als f(x) = 3x - 1 , dan is............... f ^-1(x) = (x + 1) / 3..................{pas op: haakjes niet vergeten}

Bepalen van de inverse functie komt neer op het verwisselen van de ingang en de uitgang van het schema.
Laten we de uitkomst even y noemen, de technische notatie........y = 3x - 1.
Verwisseling van x en y levert dan op..........x = 3y - 1.
Maar x hoort de (formele) parameter te zijn en y de uitkomst, zodat we de vergelijking moeten herschrijven:
in de vorm y = ...x......zodat
............x = 3y - 1
..........3y = x + 1
...........y = (x + 1) / 3

Voorbeeld
1.
Bereken de inverse functie van f(x) = 7(x + 11)
Stel
...........y = 7(3x + 11).............verwissel x en y
...........x = 7(3y + 11)
........x/7 = 3y + 11
.........3y = x/7 - 11
...........y = x/21 - 11/3............is de inverse functie

2.
Bereken de inverse functie van f(x) =

x − 5

10 − 3 x

Schrijf y = f(x) en verwisseling van x en y levert:
.....x = 

y − 5

10 − 3 y

.....x(10 - 3y) = y - 5
.....10x - 3xy = y - 5
.....-3xy - y = -5 - 10x
..... 3xy + y = 5 + 10x
.....y(3x + 1) = 10x + 5
.....y = 

10 x + 5

3 x + 1

= f ^-1(x)

Toepassing
Zie het schema hieronder:

Gevraagd : f(x).
Door g ^-1(x) achter g(x) te zetten, wordt g(x) ongedaan gemaakt en staat f(x) alleen
links van het " = " teken.
Maar dan moet g ^-1 (x) ook rechts van h(x) worden geplaatst, want links en rechts
van het " = " teken moet dezelfde operatie plaatsvinden.
Nu is
.................g ^-1(x) =

20 − x

7

...............f(x) = g ^-1(h(x)) =

10 − 3 x

7

Opmerking:....let op waar de inverse functie wordt geplaatst , vóór of achter een functie.


Klik [hier] voor extra oefeningen.

Verhoudingen
Recht Evenredig verband.
We beschouwen de regel bij het rekenen met breuken

a

b

 = 

p a

p b

wat een rijtje gelijke breuken kan opleveren zoals:

1

3

...,...

2

6

...,...

3

9

........

Noemen we de teller y, de noemer x en het quotient c

y

x

 = c ...........of............ y = c x

dan is sprake van een recht evenredig verband tussen y en x als c een constante waarde heeft.
Rekenschema

Een recht evenredig verband tussen twee variabelen herkennen we doordat het quotient een constante
waarde heeft.
Recht evenredige verbanden komen veel voor.

kosten : aantal = prijs artikel..............{bij aankoop van aantal van hetzelfde artikel}
afstand : tijd = snelheid.....................{bij constante snelheid}
spanning : stroom = weerstand........{elektrotechniek}
omtrek cirkel : middellijn = p
kracht : uitrekking veer = veerconstante.......{uiteraard binnen bepaalde grenzen}
afmeting op foto : afmeting in werkelijkheid = schaal............{landkaarten}

Voorbeelden

y = 2x
y = -2,67x
y - 3x = 0........................{want is te schrijven als y = 3x}
5y + 3x = 0.....................{anders geschreven : y = -0,6x }
K = 1,55.L......................{K euro voor L liter bezine}

Een tabel met een recht evenredig verband heet een verhoudingstabel.
In het geval van het voorbeeld hierboven over de liters brandstof::

L	1	2	3	4	5	6	7	8
K	1,55	3,10	4,65	6,20	7,75	9,30	10,85	12,40

Op de eerste regel staat de variabele waar we van uitgaan (L),
en op de tweede regel de berekende (of gemeten) uitkomst (K).

Het Kruisproduct
Hieronder staat een verhoudingstabel, met getallen p, q, r en s.

p	r
q	s

Omdat het een verhoudingstabel is geldt:

q

p

 = 

s

r


anders geschreven
p.s = q.r .................dit heet het kruisproduct

in beeld :

Met het kruisproduct kan, in geval van een recht evenredig verband, snel een berekening worden gemaakt.

Voorbeeld
Bereken p en q in de verhoudingstabel hieronder:

2,76	p	19,86
9,44	84,76	q


uit ..........9,44p = 2,76 . 84,76.............volgt :............. p = 24,78
uit...........2,76q = 9,44 . 19,86.............volgt :.............. q = 67,93

Andere Notatie
De bewoners van de stad Univeen houden van eenvormige bebouwing.
Zo staat er in Univeen slechts één soort flatgebouwen.
Elk gebouw bevat 2 tweekamer woningen, 3 driekamer woningen en 4 vierkamer woningen.
Tellen we in een bepaalde wijk nu t 2 kamer- en d driekamer woningen dan geldt

t : d = 2 : 3

De breuk ......

t

d

.....laat zich steeds vereenvoudigen tot........

2

3

Voorbeelden
1.
In stadsdeel Egalerberg van de stad Univeen tellen we 39 driekamer woningen.
a. hoeveel 2 kamerwoningen zijn er
b. en hoeveel 4 kamerwoningen?
c. hoeveel woningen totaal?

a. t : d = 2 : 3. Stel er zijn 2x tweekamer woningen, dus 3x driekamerwoningen.
bekend .....3x = 39.......x = 13.......2x = 26, dat is het aantal 2 kamer woningen
b. d : v = 3 : 4 {v vierkamer...}....als boven....4x vierkamerwoningen......4x = 4.13 = 52.
c. 2x + 3x + 4x = 9x woningen totaal. Bij x = 13 dus 9.13 = 117

2.
Op een school geldt dat de verhouding tussen wel- en niet- brildragende leerlingen 3 : 8 bedraagt.
a. Welk percentage van alle leerlingen draagt een bril?
b. Als het verschil tussen niet- en wel brildragers 245 bedraagt, hoeveel leerlingen telt die school dan?

a.
Als 3x leerlingen een bril draagt, dan doen 8x leerlingen dat niet. Totaal zijn er 3x + 8x = 11x leerlingen,
zodat

3 x

11 x

 = 

3

11

..100% = 27,27% brildragend is.
b.
Het verschil 8x - 3x = 245.............5x = 245..................x = 49, zodat
totaal 11x = 11.49 = 539 leerlingen.

Opmerking: dit soort problemen kan ook met verhoudingstabellen worden opgelost.

3.
De snelheden van atleten A en B verhouden zich als 6 : 7.
Ze lopen een afstand van 10km.
Bereken de snelheid van A en B als B 5 minuten eerder aankomt.

Stel snelheden 6v en 7v , bedenk dat afstand = snelheid * tijd.
De afstand wordt afgelegd door

A in tijd t_a =

10

6 v


B in tijd t_b =

10

7 v

Bedenkend, dat 5 minuten = 1/12 uur :

t_a - t_b =

10

6 v

 − 

10

7 v

 = 

1

12




10

42 v

 = 

1

12


42v = 120
v = 2,857...
Snelheid van A = 6 . v = 17,14 km/h
Snelheid van B = 7 . v = 20 km/h

Voorbeeld (cirkelsegmenten)
Uit een cirkel knippen we een segment (taartpunt).
Hoe lang is de cirkelboog AB en hoe groot is de oppervlakte?
We maken een tabel met de hoek op regel 1 en booglengte en oppervlakte op regels 2 en 3.

a (graden)	360	1	a
boog AB	2pr	p 180	a p 180
oppervlakte	pr2	p r 2 360	a p r 2 360

Omgekeerd Evenredig verband.
Als tussen variabelen x en y geldt

y = 

c

x

......of anders geschreven:.................x.y = c

waarbij c een constante, dan is sprake van een omgekeerd evenredig verband.
samenvattend:

recht evenredig :.................als x 3 * zogroot wordt, dan wordt y ook 3* zo groot
omgekeerd evenredig.........als x 3 * zo groot wordt, dan wordt y 3 * zo klein

Voorbeeld
a.
Een boomstam van 240kg. wordt door n personen opgetild.
Personen oefenen en gelijke kracht (k) uit.
In formule:

k = 

240

n

............of...............k.n = 240

b.
Een zwembad met inhoud V moet worden leeggepompt.
Afhankelijk van de capaciteit c (m³/uur) van de pomp duurt dat een aantal uren (t).
In formule

c.t = V

Een pomp met de dubbele capaciteit zal de klus in de helft van de tijd klaren.

Klik [hier] voor extra oefeningen.

Gelijkvormigheid
De eenvoudigste meetkundige figuur is de driehoek.
Andere rechtlijnige figuren zijn in driehoeken te splitsen, zodat het van belang is de eigenschappen
van driehoeken nader te bekijken.

Twee driehoeken heten gelijkvormig als de ene driehoek een vergroting is van de andere.
In de figuur hieronder zijn driehoeken ABC en DEF gelijkvormig, notatie:

D ABC ~ D DEF

De vergrotingsfactor is in dit geval 2,5......zodat DE = 2,5AB.......EF = 2,5 BC...........DF = 2,5 AC.
DE en AB en ook EF en BC en ook DF en AC heten overeenkomstige zijden.
Tussen niet overeenkomstige zijden geldt de vaste verhouding natuurlijk niet.
Daarom is de volgorde van de letters belangrijk : hoek A hoort bij D, B bij E en C bij F.

Let op: hier zijn de driehoeken overzichtelijk getekend, maar noodzakelijk is dat natuurlijk niet.

Bekijk de figuur hieronder:

De gelijkvormige driehoeken ABC en ADE hebben hoekpunt A gemeenschappelijk.
Die gelijkvormigheid is het gevolg van de evenwijdigheid van BC en DE.
Daardoor zijn de met ° gemerkte hoeken gelijk (want zelfde richtingsverschil met zijde AB)
en is de hele figuur te verdelen in dezelfde driehoekjes.
Ook de hoeken bij C en E zijn gelijk.
De lengte van elke zijde is te tellen als aantal van de (overeenkomstige) zijde van zo'n klein driehoekje.
Een belangrijke eigenschap is dus:

Als twee driehoeken gelijke hoeken hebben, dan zijn ze gelijkvormig

Leer [hier] meer over rekenen met hoeken.
We gaan nu de verhouding BD : CE berekenen, als de verhouding AB : AC bekend is.

Stel AB = a.......AC = b ............BD = c ........CE = d ........{dat schrijft wat makkelijker}
Uit de gelijkvormigheid volgt:
............

a

b

 = 

a + c

b + d

pas op : AB en AD zijn overeenkomstige zijden, niet AC en CD

.......... a(b + d) = b(a + c)
...........ab + ad = ab + bc.................{ab weghalen}
...................bc = ad.........................{delen door b en door d}
...................

c

d

 = 

a

b

.............oftewel ....: AB : AC = BD : CE

Dat leidt tot een handige (meetkundige) regel:

evenwijdige lijnen delen snijdende lijnen in stukken met gelijke verhouding
in de figuur hieronder:
AB : DE = BC : EF

Toepassingen
1.
We beschikken over
- een passer om gelijke afstanden af te tekenen
- een liniaal (zonder schaalverdeling, dus een strak touwtje mag ook ) om rechte lijnen te trekken
- een driehoek om langs de liniaal te verschuiven, zodat evenwijdige lijnen getrokken kunnen worden

Opgave : Verdeel, met het gegeven gereedschap, een willekeurig lijnstuk PQ in 7 gelijke stukken.
Oplossing (zie figuur hieronder):

- trek door P een lijn, die met PQ een hoek maakt van zo ongeveer 30 graden.
- teken op deze lijn vanuit P met de passer 7 gelijke delen af (rode punten)
- trek een lijn van Q naar het laatste rode punt
- teken evenwijdige lijnen door de andere rode punten
- de snijpunten op PQ geven de gewenste verdeling

2.
Bereken in de figuur hieronder AS en DS.

Wegens D ABS ~ D CDS geldt......AS : CS = AB : DC
A S = 

A B.C S

D C

 = 

10.8

15

 = 5 , 33
uit DS : BS = DC : AB volgt
D S = 

D C.B S

A B

 = 

15.7

10

 = 10 , 5

3.
Als twee driehoeken een gelijke hoek hebben, dan verhouden de oppervlakten
van die driehoeken zich als de producten van de zijden van die hoeken.
Waarom?
Bekijk de figuur hieronder.

Opmerking: de oppervlakte van driehoek ABC noteren we even als [ABC]
Te bewijzen is : [ABC] : [AEF] = (AB . AC) : (AE . AF)
Bewijs:
.........

A B.C D

A E.F G

 = 

A B

A E

 · 

C D

F G

 = 

A B

A E

 · 

A C

A F

 = 

A B.A C

A E.A F

want wegens D ADC ~ D AGF geldt.......CD : FG = AC : AF

4.
In een driehoek verdeelt een deellijn van een hoek de overstaande zijde in stukken,
die zich verhouden als de zijden om die hoek.

CD is de deellijn van hoek C.
te bewijzen............b : a = q : p
nu is:
.................[ADC] : [DBC] =

b d

a d

 = 

b

a

.....wegens gemeenschappelijke hoek C (pas eigenschap toe die hiervoor is bewezen)
maar ook:
................[ADC] : [DBC] =

h q

h p

 = 

q

p

....zodat het bewijs is geleverd.

Opmerking: dit is een kleine greep uit eigenschappen van lijnen en driehoeken.
Er waren ook voorbeelden te vinden uit de natuurkunde of techniek, maar die vereisen extra vakkennis.

Klik [hier] voor extra oefeningen.

Lineaire Vergelijkingen
Een transporteur vervoert onderdelen in dezelfde kisten.
Kist 1 bevat 4 onderdelen en weegt 27kg. Kist 2 bevat 2 onderdelen en weegt 17kg
Hieronder zie je die kisten op een weegschaal staan.

Wat is het gewicht van een kist en wat is het gewicht van één onderdeel?
Onbekende getallen geven we met een letter aan.
Stel de kist op k kg. en een onderdeel op x kg.
Uit de twee wegingen kunnen we 2 vergelijkingen opstellen

.........k + 4x = 27 ..................1)
.........k + 2x = 17...................2)

Er zijn twee methoden om de onbekenden k en x te berekenen.

1. De Substitutiemethode
uit ..........1)... volgt, dat k = 27 - 4x
In regel .........2) .......substitueren we nu 27-4x voor k, dat levert
...........(27-4x) + 2x = 17
....................27 - 2x = 17
...........................2x = 10
.............................x = 5

In vergelijking ...........1) substitueren we 5 voor x.....
...................k + 4.5 = 27
............................k = 7.

Door substitutie is het mogelijk twee vergelijkingen met twee onbekenden
om te vormen tot één vergelijking met één onbekende.

Dat leidt tot de conclusie, dat er voor n onbekenden dus n vergelijkingen nodig zijn.

De substitutiemethode werkt altijd, ook in het geval dat onbekenden in het kwadraat of
in de noemer van een breuk voorkomen.
Maar vaak leidt deze methode tot akelig rekenwerk.
Komen alle variabele tot de macht 1 voor, we spreken dan van lineaire vergelijkingen
omdat de grafiek een rechte lijn is.
In dat geval is de volgende methode veel handiger.

2. De "Kolommen" methode
Bij de vergelijkingen hierboven staan in beide regels evenveel k 's.
We kunnen dus k snel kwijtraken door simpelweg regel 1 van regel 2 af te trekken
{we werken van boven naar beneden}

.........(k + 2x) - (k + 4x) = 17 - 27
...............................-2x = -10

De oorspronkelijke vergelijkingen zijn nu versimpeld tot

.........k + 4x = 27
..............-2x = -10

maak nu de kolom met x gelijk, door met -2 te vermenigvuldigen:

........k + 4x = 27
..............4x = 20..................en trek regel ...2) af van regel ...1)..........{we werken van onder naar boven}

........ k........= 7
..............4x = 20..............deel door 4

........k.........= 7
................x = 5................en de oplossing is gevonden.

Deze methode heet ook wel "Gauss-Jordan" eliminatie.

Voorbeeld 1. (Kolommen methode)
Een bioscoop kent kinder- en volwassenen toegangskaartjes.
5 kinderen en 3 volwassenen betalen samen 65 euro.
12 kinderen en 5 volwassenen betalen samen 134 euro.
Wat kost elk kaartje?
Stel kinderkaartje k en volwassenen kaartje v euro's.
Dat levert de vergelijkingen:

.......5k + 3v = 65
.....12k + 5v = 134

Eerst maken we de k kolom gelijk, door regel 1 te vermenigvuldigen met 12 en regel 2 met 5

....60k + 36v = 780
....60k + 25v = 670..............trek regel 1 af van regel 2 {werk omlaag}

....60k + 36v = 780
..............11v = 110.........deel door 11 en vermenigvuldig met 36 om v kolom gelijk te maken

....60k + 36v = 780
............. 36v = 360............en trek regel 2 af van regel 1 ........{werk omhoog}

....60k...........= 420............deel door 60
..............36v = 360............deel door 36

........k...........= 7
..................v = 10....................oplossing gevonden

2.(kolommen methode)
Grootmoeder vraagt hoeveel geld haar kleinkinderen in hun spaarpot hebben.
Arend zegt : Brenda en ik hebben samen 119 euro.
Brenda zegt : Christiaan en ik hebben samen 131 euro.
Christiaan zegt : Arend en ik hebben samen 158 euro.
Hoeveel heeft elk kind?
Stel die hoeveelheden op a,b en c. Het volgende stelsel vergelijkingen ontstaat:

.......a + b ......= 119
.............b + c = 131
.......a + ......c = 158

eerst kolom a "schoonvegen", trek regel 1 af van regel 3

......a + b .......= 119
............b + c = 131
..........- b + c = 39

Kolom a is nu klaar, verder met kolom b, maar vanaf regel 2
Tel regel 2 op bij 3, om de b in regel 3 te verwijderen

......a + b .......= 119
............b + c = 131................vermenigvuldig met 2 om ook 2c te krijgen...
.................2c = 170

......a + b .........= 119.............vermenigvuldig met 2 om ook 2b te krijgen
..........2b + 2c = 262
..................2c = 170...............trek af van regel 2

....2a + 2b .........= 238
.............2b .........= 92.............trek deze regel af van regel 1 om b te elimineren
...................2c = 170

....2a ....... ..........= 146............deel door 2
.............2b .........= 92..............idem
......................2c = 170............idem

...a .................= 73
.............b .......= 46
....................c = 85

Het programma LiVe toont stap voor stap de "Gauss-Jordan" methode.
Maximaal kunnen 9 vergelijkingen met 9 onbekenden worden opgelost.
Kijk [hier]

Met voorbeelden van de substitutie-methode wachten we nog even
totdat meer theorie is behandeld.

Klik [hier] voor extra oefeningen.

Rekenen met Wortels
Worteltrekken en machtverheffen zijn elkaars omgekeerden (inversen).
De macht van twee van een getal noemen we ook wel het "kwadraat".
Het omgekeerde van een kwadraat is de vierkantswortel, meestal kortweg "wortel" genoemd.
De (vierkants) wortel uit het getal A schrijven we als ....

\

A

Algemeen volgt uit de definitie:

\

A 2

 = A .......en ook ........

	2
æ \ A ö è ø

 = A

Voorbeelden

1.


\

49

= 7 ....want..... 7² = 49
2.


\

100

 = 10 .....want.........10² = 100
3.
De oppervlakte van een vierkant is 10m².Bereken de lengte (z) van een zijde.
Dat komt neer op het oplossen van de vergelijking z² = 10.
Trek de wortel links en rechts van het "x" teken, dan ....... z = 

\

10

= 3,16......
Opmerking : afhankelijk van de toepassing kiezen we het benodigde aantal decimalen.

De meetkundige betekenis van de vierkantswortel:

als van een vierkant de oppervlakte bekend is, dan is de lengte van een zijde gelijk
aan de wortel van de oppervlakte.

Als de wortel wordt getrokken uit een getal dat geen kwadraat is, dan zal het antwoord
altijd een benadering zijn.
Zo is

\

2

 = 1 , 414213562 ..............

Even verderop zullen we bewijzen, dat de wortel uit 2 geen breuk kan zijn.

Rekenregels
1.

\

A

 

\

B

 = 

\

A B


(het product van twee wortels is gelijk aan de wortel van het product)

2.

\ A \ B

=

\ A B


(het quotient van twee wortels is gelijk aan de wortel van het quotient)

Deze regels zijn in te zien door de formules links en rechts van het = teken te kwadrateren.
Er staat dan, na herschikking van de termen:

bij 1........A.B = A.B
bij 2....... A/B = A/B

3.

3 

\

A

 + 5 

\

A

 = 8 

\

A

.........Stel maar p =

\

A

, dan staat er gewoon....: 3p + 5p = 8p

4.

\

a p

 = 

	p
æ \ a ö è ø


bewijs:
kwadrateer links en rechts van het "=" teken
a ^p = 

	2 p
æ \ a ö è ø

 = 

	p
æ 2 æ \ a ö è ø ö è ø

 = a ^p

Toepassingen rekenregels voor wortels
[1]. Getallen onder wortelteken verkleinen door afsplitsing van kwadraten

\

72

 = 

\

36 · 2

 = 

\

36

 

\

2

 = 6 

\

2


en


\

500

 = 

\

100 · 5

 = 

\

100

 

\

5

 = 10 

\

5


en ook:


\

x 3 − x 2

 = 

\	x 2 (x − 1)

 = 

\

x 2

 

\

x − 1

 = x 

\

x − 1

[2]. Wortels samenvoegen en vereenvoudigen

\

3

 

\

48

 = 

\

144

 = 12
en


\ 75 \ 3  =  \ 25

=

5


en ook


\

3

 + 

\

12

 = 

\

3

 + 2 

\

3

 = 3 

\

3

[3]. Breuken onder wortelteken wegwerken

\ 1 3  =  \ 3 9  =  \ 1 9   \ 3

=

1 3   \ 3

Opmerking: vermenigvuldig teller en noemer met de noemer, zodat de noemer een kwadraat wordt.
Haal dan dat kwadraat onder het wortelteken vandaan.

[4]. Wortels uit de noemer wegwerken

5 +  \ 3 \ 2  =  \ 2   æ 5 +  \ 3 ö è ø 2

=

5  \ 2  +  \ 6 2

Wortels zijn geen breuken
Hieronder volgt het bewijs, dat er geen breuk bestaat die precies gelijk is aan de wortel uit 2.
Het is een zg. bewijs door tegenspraak.
We nemen eerst aan, dat er wel zo'n breuk ....

a

b

.... bestaat
en tonen dan aan, dat dit tot tegenstrijdige conclusies leidt.

Stel

\

2

 = 

a

b

......... en a en b hebben geen gemeenschappelijke factoren, dus de breuk is niet te vereenvoudigen.
Kwadrateren levert op: 2 = 

a 2

b 2


a² = 2b²
zodat a² dus een factor 2 moet bevatten.
Dat is alleen mogelijk als a een factor 2 bevatte, stel nu a = 2p, zodat
4p² = b²
2p² = b², waaruit we concluderen dat ook b² een factor 2 bevat en
dat kan alleen als b een factor 2 bevat, dus bijvoorbeeld b = 2q.

a en b moeten beide een factor 2 bevatten.

Maar het uitgangspunt was dat a en b geen gemeenschappelijke factor hadden.
Tegenspraak. Er kan geen breuk bestaan, die precies gelijk is aan

\

2

Wortels systematisch benaderen
Nu volgt een snelle methode om

\

2

systematisch te benaderen.

Bedenkend dat we de zijde zoeken van een vierkant dat een oppervlakte 2 heeft,
maken we eerst een rechthoek met oppervlakte 2 en hoogte 1.
Die 1 is een zeer slechte benadering van de wortel uit 2.

De basis is dan .... oppervlakte : hoogte = 2 : 1 = 2.

De echte waarde van de wortel zal tussen 1 (hoogte) en 2 (basis) in liggen,
we nemen het gemiddelde:

3

2

, dit is de nieuwe hoogte en een iets minder slechte benadering.
De nieuwe basis is 2 :

3

2

=

4

3

Het gemiddelde van de basis en de hoogte is de nieuwe hoogte.....

3 2  +  4 3 2

=

17 12

en deze benadering is al vrij nauwkeurig.

Algemeen:
Als een rechthoek oppervlakte 2 heeft en de hoogte is p, dan is de basis

2

p

Als p een benadering is van

\

2

, dan is


p +  2 p 2

=

p 2 + 2 2 p

...... een betere benadering.

Voorbeeld
We benaderen de wortel uit 5.
Als p een benadering is van de wortel uit 5 dan is

p 2 + 5

2 p

een betere benadering.
Stel p = 1, dan is (1 + 5)/2 = 3 een betere benadering. Neem nu p =3.
Dus (9 + 5)/ 6 = 2,33333 is weer een betere benadering en
(2,33333² + 5 )/(4,66666) = 2,23809... is weer een betere benadering, enzovoorts.

Klik [hier] voor extra oefeningen.

Haakjes wegwerken
Eerder zagen we de distributieve wet:

a(b + c ) = ab + ac

Maar hoe schrijven we (a + b)(c + d) zonder haakjes?
Uiteraard kunnen we een plaatje bedenken, maar die plaatjes hebben hun beperkingen.
Daarom een andere benadering.
Door bijvoorbeeld a + b = p te stellen, kunnen we de distributieve wet toepassen:

(a + b)(c + d) gaat dan over in .......
p(c+d) = pc + pd

Nu p weer vervangen door a + b en opnieuw de distributieve wet toepassen:

(a+b)c+(a+b)d = ac + bc +ad + bd

Op eendere wijze:

(a + b + c)(d + e + f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf

In woorden:

2 factoren : elke term van de eerste- met elke term van de tweede factor vermenigvuldigen

Om de haakjes weg te werken in

(a + b)(c + d)(e + f)

bedenken we dat : (A.B).C = A.(B.C) .
Laten we eerst (a + b)(c + d) vermenigvuldigen, dat levert op

(ac + ad + bc + bd)(e + f)

Nu elke term van de eerste- met elke term van de tweede factor vermenigvuldigen:

(ac + ad + bc + bd)(e + f) = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf

Voorbeelden
a. (schrijf zonder haakjes)

(x-1)(x³ + x² + x + 1) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 - x³ - x² - x - 1 = x⁴ - 1

b. (schrijf als één breuk en vereenvoudig zo mogelijk:

3 v − 8

5 v + 1

 − 

2 v + 3

4 v + 1

=


(3 v − 8) (4 v + 1) − (2 v + 3) (5 v + 1)

(5 v + 1) (4 v + 1)

=


12 v 2 + 3 v − 32 v − 8 − (10 v 2 + 2 v + 15 v + 3)

(5 v + 1) (4 v + 1)

=


12 v 2 − 29 v − 8 − 10 v 2 − 17 v − 3

(5 v + 1) (4 v + 1)

=


2 v 2 − 46 v − 11

(5 v + 1) (4 v + 1)

Opmerking:
Het is niet handig ook de noemer zonder haakjes te schrijven.
De noemer van een breuk mag namelijk niet gelijk aan 0 worden,
dus geen enkele factor van de noemer mag 0 worden.
Zonder de haakjes gaat dat overzicht verloren.

c. (vereenvoudig)

æ	a b  + 1	ö
­		­
è		ø

 : 

a + b

a − b

=


a + b

b

 · 

a − b

a + b

 = 

a − b

b

Merkwaardige producten
Dat zijn de volgende, veel voorkomende, producten:

(a - b)(a + b) = a² - b².......................{kwadraat - kwadraat}
(a + b)² = a² + 2ab + b²....................{kwadraat, dubbelproduct, kwadraat}
(a - b)² = a² - 2ab + b²......................{kwadraat, dubbelproduct, kwadraat}

Leer deze producten uit het hoofd (van links naar rechts en omgekeerd), dat spaart later veel tijd.

Voorbeelden
Schrijf de antwoorden direct op, dus niet volgens de eerdere methoden van termsgewijs vermenigvuldigen.
a. (schrijf zonder haakjes, kwadraat - kwadraat)

(p + 25)(p - 25) = p² - 25² = p² - 625
(7k - 3)(7k + 3) = (7k)² - 3² = 49k² - 9
(11 - x²)(11 + x²) = 121 - x⁴

b. (schrijf zonder haakjes, kwadraat dubbelproduct kwadraat)

(p + 7)² = p² + 2.7p + 49 = p² + 14p + 49
(3m + 5)² = (3m)² + 2.3m.5 + 5² = 9m² + 30m + 25
(2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x)(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
(1 - 5t)² = 1 - 2.1.5t + (5t)² = 1 - 10t + 25t²

c.(schrijf zonder wortels in de noemer)

2 \ 5  −  \ 3  =  2  æ \ 5  +  \ 3 ö è ø æ \ 5  −  \ 3 ö è ø   æ \ 5  +  \ 3 ö è ø

=

\ 5  +  \ 3

Toepassing 1(de stelling van Pythagoras)
Bekijk eens de figuur hiernaast:
Getekend is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c.
We bewijzen, dat in zo'n driehoek geldt:

a² + b² = c²

wat bekend staat als de stelling van Pythagoras.
Het bewijs verloopt als volgt:
In een vierkant verdelen we elke zijde in stukken a en b en trekken de (blauwe) schuine zijden.
Omdat alle driehoeken gelijk zijn, zijn ook die schuine zijden gelijk, zodat de blauwe vierhoek
zeker een ruit is.
Maar de hoeken aangegeven met 1) en 2) zijn steeds samen 90 graden, zodat de blauwe vierhoek
een vierkant is, want voor elk hoekpunt blijft 90 graden over.
De totale oppervlakte is nu op twee manieren te schrijven:

1. (a + b)²
2. als som van het blauwe vierkant en de vier driehoekjes : c² + 4.a.b/2
zodat:
(a + b)² = c² + 2.a.b.........haakjes wegwerken........
a² + 2.a.b + b² = 2.a.b + c² ...... 2.a.b aftrekken..........
a² + b² = c²

Toepassing 2(zoenende cirkels)
Bekijk eens de figuur hiernaast:
Twee cirkels met straal r en R liggen op een lijn en raken elkaar.
Gevraagd wordt de afstand d uit te drukken in r en R.

Uit de figuur blijkt:

MN = R + r
NP = R - r
d = MP

Toepassing van Pythagoras in driehoek MPN:

MP² + PN² = MN²
zodat
(R + r)² = d² + (R - r)²..........{haakjes wegwerken}
R² + 2rR + r² = d² + R² -2rR + r²
4rR = d²
d² = 4rR
d = 2 

\

R.r

Klik [hier] voor extra oefeningen.

Ontbinden in factoren
Dit is het omgekeerde van "haakjes wegwerken" en veel lastiger.
Er zijn een aantal mogelijkheden te onderscheiden:

1 : factoren buiten haakjes halen, type : AB + AC = A(B + C).
Voorbeelden

24p + 6 = 6(4p + 1)
40x² + 15x = 5x(8x + 3)
y⁴ - 8y² = y²(y² - 8)

2 : kwadraat - kwadraat herkennen, type : A² - B² = (A - B)(A + B).
Voorbeelden

p² - 16 = p² - 4² = (p - 4)(p + 4)
9x² - 25y² = (3x)² - (5y)² = (3x - 5y)(3x + 5y)
1 - 100x²y⁴ = 1 - (10xy²)² = (1 - 10xy²)(1 + 10xy²)
20a²k - 45b²k = 5k(4a² - 9b²) = 5k(2a - 3b)(2a + 3b)
x⁸ - 1 = (x⁴ - 1)(x⁴ + 1) = (x² - 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) = (x - 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)
(a + b)² - (a - b)² = ((a + b) - (a - b))((a + b) + (a - b)) = (2b)(2a) = 4ab

3 : kwadraat , dubbelproduct, kwadraat herkennen, type : A² + 2AB + B² = (A + B)² .
Voorbeelden

p² + 4p + 4 = p² + 2.p.2 + 2² = (p + 2)²
4k² + 12k + 9 = (2k)² + 2.2k.3 + 3² = (2k + 3)²
9x² - 42xy + 49y² = (3x)² - 2.3x.7y + (7y)² = (3x - 7y)²

De lezer zal zich nu wel afvragen wat het nut is van ontbinden in factoren.
Welnu, dit komt van pas bij het vereenvoudigen van breuken.
Immers, teller en noemer van een breuk mogen door hetzelfde getal (factor) worden gedeeld.
Maar dan moeten die teller en noemer wel eerst als factoren worden geschreven.
Een tweede toepassing van "ontbinden in factoren" is het oplossen van kwadratische vergelijkingen.
Daarvoor leggen we dus ook een basis.

Voorbeeld 1:

x 2 − 1

(x + 1) 2

 = 

(x − 1) (x + 1)

(x + 1) 2

 = 

x − 1

x + 1

Voorbeeld 2:

25 x y 2 + 60 x y + 36 x

10 x y + 12 x

 = 

x (25 y 2 + 60 y + 36)

2 x (5 y + 6)

 = 

(5 y + 6) 2

2 (5 y + 6)

 = 

5 y + 6

2

Voorbeeld 3:

x 8 − 1

x 4 − 1

 = 

(x 4 − 1) (x 4 + 1)

x 4 − 1

 = x ⁴ + 1

(15 x − 20 y) (15 x + 21 y)

(9 x − 12 y) (25 x + 35 y)

 = 

5 (3 x − 4 y) · 3 (5 x + 7 y)

3 (3 x − 4 y) · 5 (5 x + 7 y)

 = 1

De Som...Product methode
Bekijk eens deze vermenigvuldiging:

(x + 5)(x + 10) = x² + 10x + 5x + 50 = x² + 15x + 50

Merk op, dat de factor 15 in de term 15x de optelling is van 5 + 10.
Merk ook op, dat de term 50 is onstaan door het product 5.10.
Als we nu de formule x² + 15x + 50 in factoren willen schrijven, dan moeten
de termen 5 en 10 worden gevonden uit de 50 en de 15.
We maken een tabel met de ontbindingen van de term 50 en ook de som van die termen:

1. 50	1 + 50 = 51
2 . 25	2 + 25 = 27
5 . 10	5 + 10 = 15

De derde en laatste regel van de tabel is wat we zoeken:

5 . 10 = 50
5 + 10 = 15

zodat we direct kunnen schrijven:

x² + 15x + 50 = (x + 5)(x + 10)

Nu een ander geval: ontbind in factoren

x² - 2x - 63

Weer een tabel, als hiervoor:

-1. 63	-1 + 63 = 62
-3.23	-3 + 23 = 20
-7 . 9	-7 + 9 = 2
7 . -9	7 - 9 = -2

De laatste regel is wat we zoeken, zodat:

x² - 2x - 63 = (x + 7)(x - 9)

De Som...Product methode algemeen:

(x + A)(x + B) = x² + (A + B)x + AB

Voorbeelden

x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) ...........{20 = 4 . 5 en 9 = 4 + 5}
x² - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)........{20 =(-4) .(-5) en -9 = (-4) + (-5)}
x² + x - 20 = (x - 4)(x + 5)........{ -20 = (-4) . 5 en 1 = (-4) + -5}
x² - x - 20 = (x + 4)(x - 5).........{ -20 = 4 . (-5) en -1 = 4 + (-5)}

Vereenvoudig:

x 2 − 6 x − 91

x 2 − 6 x − 7

 = 

(x + 13) (x − 7)

(x − 7) (x + 1)

 = 

x + 13

x + 1

Ontbind in factoren:

8x² + 32x - 40 = 8(x² + 4x - 5) = 8(x - 1)(x + 5)

Schrijf als 1 breuk, vereenvoudig:

3

p 2 − p − 2

 + 

2

p 2 + 4 p + 3

 + 

4

p 2 + p − 6

=


3

(p − 2) (p + 1)

 + 

2

(p + 1) (p + 3)

 + 

4

(p + 3) (p − 2)

=


3 (p + 3) + 2 (p − 2) + 4 (p + 1)

(p + 1) (p − 2) (p + 3)

=


9 (p + 1)

(p + 1) (p − 2) (p + 3)

=


9

(p − 2) (p + 3)

Opmerking:
Een breuk mag niet 0 als noemer hebben.
In het voorgaande hebben we ons daar niet druk om gemaakt.
Bekijk bijvoorbeeld de volgende breuk:

10

2 x − 11


De noemer mag niet = 0 zijn dus
2x - 11 = 0
x = 5,5 is illegaal

Toepassing 1(De Macht van een punt t.o.v. een Cirkel)
Bekijk de figuur rechts:
Punt P is willekeurig gekozen buiten de cirkel.
Vanuit P wordt een lijn getrokken die de cirkel snijdt in de punten A en B.
En nu doet zich een vreemde eigenschap voor:

het product PA.PB lijkt een constante waarde te hebben,
onafhankelijk van de plaats van A (en B).

PA.PB heet : de macht van P t.o.v. de cirkel.
We gaan bewijzen, dat deze waarde constant is, dwz. onafhankelijk van de plaats van A en B.
en alleen bepaald door de straal van de cirkel en de plaats van P
We trekken hulplijnen

PM, door P en midden M van de cirkel. Q en S zijn snijpunten.
MA = MB = r, de straal van de cirkel
MN loodrecht op PB. En wegens symmetrie: AN = BN

Toepassing van de stelling van Pythagoras in driehoek PMN:

MN² + PN² = PM².....................[1]

Pythagoras in driehoek AMN:

MN² = r² - AN².....................[2]

[1] en [2] combinerend:

r² - AN² + PN² = PM²
PN² - AN² = PM² - r²
(PN - AN)(PN + AN) = (PM - r)(PM + r)
PA. PB = PQ . PS

Het product PQ.PS staat vast bij keuze van P en de grootte van de cirkel.
Hiermee is de eigenschap bewezen.

Toepassing 2(snijdende cirkels)
Bekijk eens de figuur hiernaast: De middelpunten van twee cirkels met straal r en R hebben een afstand d.
Bereken MQ ( = .....d.....r......R).
We schrijven op wat we weten:

1.... MQ + NQ = d
2.... MP = r
3.... NP = R
4....NQ² + PQ² = R²
5....MQ² + PQ² = r²

4) - 5) levert ........
NQ² - MQ² = R² - r²........(ontbinden in factoren.....)
(NQ - MQ) (NQ + MQ) = R² - r²
d(NQ - MQ) = R² - r²
nu hierin MQ vervangen door (d - NQ)..........
d(NQ - (d - NQ)) = R² - r²
d(2NQ - d) = R² - r²
2d.NQ - d² = R² - r²
2d.NQ = R² - r² + d²
N Q = 

R 2 − r 2 + d 2

2 d

Verborgen Vormen van x²+2x+1=(x+1)²
1.
a + 2 

\

a

 + 1 = 

	2
æ \ a  + 1 ö è ø

substitueer a = x² en een bekende vorm ontstaat. Let op : een voorwaarde is wel dat a > 0

2.
a⁶ + 2a³ + 1 = (a³ + 1 )²
substitueer a⁶ = x² ..., dus .....x = a³ om dit te zien

3.
x³ + 2x² + x = x(x² + 2x + 1) = x(x + 1)²

4.

	2
æ 1 p ö ­ ­ è ø

 + 

2

p

 + 1 = 

	2
æ 1 p  + 1 ö ­ ­ è ø

substitueer 1/p = x en een bekende vorm verschijnt.

Klik [hier] voor extra oefeningen.

De Zwaartelijn Formule
Als sluitstuk en toepassing van algebra-2, een formule om de lengte van de
zwaartelijn te berekenen in een driehoek waarvan de zijden bekend zijn.
Opmerking : de zwaartelijn van een hoek deelt de overstaande zijde in gelijke delen.
De driehoek heeft zijden a,b en c. Z is de zwaartelijn van hoek C.
In de figuur is h hoogtelijn.

Lijn h is getrokken om rechthoekige driehoeken te krijgen : dan is de stelling van Pythagoras toe te passen.
Zo ontstaat ook lijnstuk x.
De opgave is dus een formule te vinden van de vorm......z = a....b.....c,
waarbij de puntjes nog van alles kunnen worden.

De aanpak: schrijf alles op wat je weet van a,b,c,x en h.

...........a² = h² + x².................................1)
...........b² = h² + (c - x)²..........................2)
...........z² = h² + (c/2 - x)².......................3)

Uit vergelijkingen ....1) en .......2) kunnen we (hopelijk) x en h berekenen, dwz uitdrukken in a,b,c
Daarna vullen we x en h in in vergelijking ............3).

Uit ............1) volgt,
........h² = a² - x²,......invullen in ..............2)
........b² = (a² - x² + c² - 2cx + x²
........b² = a² + c² - 2cx
.....2cx = a² + c² - b²
.........x =

a 2 + c 2 − b 2

2 c

regel .......1) herschrijven als h² = a² - x² en x vervangen:
.........h ² = a ² − 

	2
æ a 2 + c 2 − b 2 2 c ö ­ ­ è ø

........h ² = 

4 a 2 c 2 − (a 4 + a 2 c 2 − a 2 b 2 + a 2 c 2 − b 2 c 2 + b 4 − a 2 b 2 − b 2 c 2 + b 4)

4 c 2

.......h ² = 

2 a 2 c 2 + 2 a 2 b 2 + 2 b 2 c 2 − a 4 − b 4 − c 4

4 c 2

x en h² invullen
.......z ² = 

2 a 2 c 2 + 2 a 2 b 2 + 2 b 2 c 2 − a 4 − b 4 − c 4

4 c 2

 + 

	2
æ c 2  −  a 2 + c 2 − b 2 2 c ö ­ ­ è ø

........z ² = 

2 a 2 c 2 + 2 a 2 b 2 + 2 b 2 c 2 − a 4 − b 4 − c 4 + (b 2 − a 2) 2

4 c 2

......z ² = 

2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 − c 4

4 c 2

.......z ² = 

2 a 2 + 2 b 2 − c 2

4

......dit is de zwaartelijnformule.

Test
Voor elk goed antwoord 10 punten. Score is percentage.

1. vereenvoudig zoveel mogelijk

2 a 2

a + 3

 

æ	1 2  +  2 a  +  3 2a 2	ö
­		­
è		ø

=

2. vereenvoudig

x 2 − 3 x − 28

x 2 − 9 x + 14

=

3. vereenvoudig

3 x − 15

3 x + 27

 − 

5 x − 45

5 x + 25

=

4. vereenvoudig

(6 k 6 m 5) 2

9 k 10 m 7

=

5. vereenvoudig

\ 125 k 7

k 2  \ 5

=

6. vereenvoudig
(a+1)³ - (a-1)³ =

7. In een dierentuin zijn vogels en zoogdieren. Totaal tellen we 111 koppen en 394 poten.
Hoeveel dieren van elke soort?

8. De snelheden van auto's A en B verhouden zich als 5: 6.
Ze vertrekken gelijktijdig uit P en komen 800 seconden na elkaar aan in Q.
De afstand PQ = 90km.
Bereken de snelheden.

9.Bekijk het plaatje hieronder. AD is deellijn

Als CD = 65 en BD = 156 , bereken dan AC en BC.

10. Bekijk het plaatje hieronder.

Een vierkant raakt aan de zijden van een driehoek.
Bereken x , dus vind een formule x = ...h...c


klik [hier] voor de antwoorden

---

Commentaar
Klik [hier] voor een e-mail bericht met uw

suggesties
commentaar
correcties

---

OneStat