Rekenen met Breuken


Omgekeerden
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Als een getal door 5 wordt gedeeld en de uitkomst weer met 5 wordt vermenigvuldigd,
dan is het antwoord weer gelijk aan het oorspronkelijke getal.
    15 : 5 * 5 = 15
Zo is ook:
    1 : 5 * 5 = 1
schrijven we 1 : 5 als
1
5
en vervangen we het vermenigvuldigteken (*) door een puntje (.) dan:
    1
    5
     · 5 = 1

Definities

    1
    5
(spreek uit: één vijfde), noemen we een breuk.
De 1 (boven de streep) heet de teller, de 5 (onder de streep) heet de noemer.

de betekenis van
1
5

is:
    er zijn 5 van die stukjes nodig om weer 1 (hele) te maken

Gehele getallen schrijven als breuk
Elk geheel getal kan als breuk worden geschreven, zo is:
    10 = 
    10
    1

    en
    15 = 
    15
    1

de + regel
We bezoeken een houtzagerij, waar planken met lengte 1 in 5 gelijke delen worden gezaagd.
(speciale zagen: er treden geen verliezen op), zie plaatje hieronder:
Er kunnen ook 2 planken tegelijk worden gezaagd:
de schuin gearceerde delen zijn het resultaat van de berekening
2
5

maar dat is ook
1
5
plus
1
5


Door ook 3, 4, 5, 6 planken tegelijk in gelijke delen te zagen, zien we de + regel voor breuken:
    breuken met gelijke noemers tel je op door de tellers op te tellen en de noemer gelijk te laten.
In formule: (a,b,c zijn gehele getallen)
    a
    c
     + 
    b
    c
     = 
    a + b
    c
Voorbeeld:
    3
    11
     + 
    7
    11
     − 
    5
    11
     = 
    3 + 7 − 5
    11
     = 
    5
    11

De betekenis van de breuk
5
11
:
    iets is in 11 gelijke delen verdeeld en van die delen hebben we er 5.

de * regel
Zie figuur hieronder.
De gehele oppervlakte van de plaat is gelijk aan 1.
Door de plaat vertikaal in 2 - en horizontaal in drie delen te zagen, ontstaan 2 * 3 = 6 delen.
Het schuin gearceerde deel heeft een oppervlakte van
1
3
 · 
1
2
 = 
1
6

Bedenkend dat:
    5
    11
     = 5 · 
    1
    11
en
    3
    7
     = 3 · 
    1
    7
is
    5
    11
     · 
    3
    7
     = 5 · 
    1
    11
     · 3 · 
    1
    7
     = 15 · 
    1
    77
     = 
    15
    77
Hieruit blijkt de * regel voor breuken:
    breuken vermenigvuldig je door teller * teller en noemer * noemer te nemen.
In formule:
    a
    b
     · 
    c
    d
     = 
    a c
    b d
De + en de * regel zijn de basisregels voor het rekenen met breuken.
Alle andere regels kunnen eenvoudig van deze twee basisregels worden afgeleid.

Vereenvoudigen
Als een getal, dus ook een breuk, met 1 wordt vermenigvuldigd, dan verandert die niet.
(1 heet het "neutrale" getal voor vermenigvuldigen).

Bedenkend dat voor elk getal p geldt
p
p
 = 1

zal
    a
    b
     = 1 · 
    a
    b
     = 
    p
    p
     · 
    a
    b
     = 
    a p
    b p
zodat
    a
    b
     = 
    a p
    b p
In woorden:
    Een breuk verandert niet als
    1. teller en noemer met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of
    2. teller en noemer door hetzelfde getal worden gedeeld.
Voorbeeld:
    1
    8
     = 
    2
    16
     = 
    3
    24
Voorbeeld:
    18
    24
     = 
    3 · 6
    4 · 6
     = 
    3
    4
Optellen bij ongelijke noemers
    a
    b
     + 
    c
    d
     = 
    a
    b
     · 
    d
    d
     + 
    b
    b
     · 
    c
    d
     = 
    a d
    b d
     + 
    b c
    b d
     = 
    a d + b c
    b d
De nieuwe noemer wordt bd.
Als b en d gemeenschappelijke factoren bevatten, dan volstaat een kleinere noemer, nl. KGV(b,d).
Zie hiervoor artikel Factoren, GGD, KGV

Voorbeeld:
    3
    11
     + 
    2
    7
     = 
    3 · 7
    11 · 7
     + 
    11 · 2
    11 · 7
     = 
    21
    77
     + 
    22
    77
     = 
    43
    77

Schrijven als breuk
1
3
7
is een verkorte schrijfwijze van 1 + 
3
7
 = 
7
7
 + 
3
7
 = 
10
7

algemeen:
    a
    b
    c
     = 
    a c + b
    c
de "helen" eruit halen
Een breuk is groter dan 1, als de teller groter is dan de noemer.
In dat geval kunnen de "helen" worden afgesplitst door een veelvoud van de noemer
van de teller af te trekken.
Voorbeeld:
    25
    7
     = 
    21 + 4
    7
     = 
    21
    7
     + 
    4
    7
     = 3 + 
    4
    7
Omgekeerden
De "omgekeerde" van een breuk ontstaat door teller en noemer van plaats te verwisselen.
Het product van een breuk met zijn omgekeerde levert altijd 1 op:
    a
    b
     · 
    b
    a
     = 
    a b
    b a
     = 1
Delen door een breuk
algemeen:
    a
    b
    c
    d
     
     = 
     
    a
    b
     · 
    d
    c
    c
    d
     · 
    d
    c
     
     = 
     
    a
    b
     · 
    d
    c
    1

     
     
     = 
     
     
    a
    b
     · 
    d
    c

     
Hierboven staat een zg. samengestelde breuk: teller en noemer zijn zelf ook een breuk.
De noemer kan gelijk 1 worden gemaakt, door met het omgekeerde van die noemer te vermenigvuldigen.
Dan moet natuurlijk, om de breuk niet te veranderen, ook de teller hiermee worden vermenigvuldigd.
In woorden:
    delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde
Voorbeeld:
    5
    7
    9
    11
     
     = 
     
    5
    7
     · 
    11
    9
    9
    11
     · 
    11
    9
     
     = 
     
     
    5 · 11
    7 · 9

     
     
     = 
     
     
    55
    63

     
Procenten
Procent betekent "deel van 100".
Als de noemer van een breuk 100 is dan is de teller het percentage.
Om een breuk naar een percentage om te rekenen moet de noemer dus 100 worden gemaakt.
Algemeen:
     
    a
    b
     
     = 
    a
    b
    1
     
     = 
    a
    b
     · 100
    100
zodat omrekening eenvoudig geschiedt door de deling (teller/noemer) uit te voeren en dan
met 100 te vermenigvuldigen.
Voorbeeld:
    12
    19
    =
    12
    19
     · 100
    % = 63,16%
Opmerking: % spreek uit "procent".

Voorbeelden
1.
    2
    7
    9
    . 7
    1
    5
    =
    25
    9
     · 
    36
    5
     = 5 · 4 = 20

2.
    13
    2
    7
    - 7
    4
    5
    = 13 - 7 +
    2
    7
    -
    4
    5
    = 6 +
    10
    35
     − 
    28
    35
    = 5 +
    45
    35
     − 
    28
    35
    = 5
    17
    35
Toepassing
Zie figuur hieronder met een (water)leidingnet.
De breuken geven aan, hoe het water zich bij elke splitsing verdeelt.
van A naar C stroomt dus 1 − 
1
3
 = 
2
3
deel

Van het water bij B stroomt
4
7
deel naar E en van het water bij C stroomt
2
5
deel naar F.

D ontvangt van alle water (bij A) dus:
1
3
 · 
3
7
 = 
1
7

E ontvangt:
1
3
 · 
4
7
 + 
2
3
 · 
3
5
 = 
4
21
 + 
2
5
 = 
62
105

F ontvangt:
2
3
 · 
2
5
 = 
4
15


Opmerking: achter elkaar : vermenigvuldigen, naast elkaar : optellen.