Tellen , Talstelsels , Modulusrekenen (1)

Inhoud:

[1] tellen
[2] modulus rekenen
[3] gekoppelde tellers
[4] een gerobotiseerd onderdelen magazijn
[5] talstelsels
[6] negatieve getallen
[7] som, verschil, complement
[8] antwoorden


Een tellertje met 1 cijfer
Hieronder zie je een tellertje afgebeeld. Dat kan elektronisch werken, met transistoren,
of mechanisch, met tandwieltjes, maar dat is hier niet belangrijk.
Beschrijving: De pijl stelt het signaal voor, dat de teller verhoogt.
Je kunt dit signaal zelf geven door op het verhoog knopje te drukken.
(niet te snel achter elkaar drukken, het programma is niet zo snel)
Het reset knopje zet het tellertje weer terug in de laagste stand.



vraag 1


De wiskundige notatie
Er zijn 5 afzonderlijke standen: 0, 1, 2, 3, 4.
Het tellertje staat na 5 verhogingen weer op 0.
Dit telwerk wordt daarom een modulo 5 telwerk genoemd.
Er zijn natuurlijk ook modulo 2,3,4,....tellers denkbaar.

Turven is een streepje zetten voor elke keer dat een gebeurtenis plaatsvindt.
Op het verhoog knopje drukken staat gelijk aan turven.
Stel, dat er N maal is geturfd (verhoogd na een reset) en de tellerstand is T.
Om, uitgaande van N, de berekening van T op te schrijven is een nieuwe operator nodig : mod.
(al bekende operatoren zijn + , - , x , / )
opmerking: T = N mod 5 betekent dus: een modulo-5 telwerk staat na N verhogingen in de stand T.

We gebruiken de operator div om, uitgaande van N,
op te schrijven hoeveel keren (C) de teller over de kop ging.
opmerking: C = N div 5 betekent dus: een modulo-5 telwerk is na N verhogingen C maal over de kop gegaan.

De operatoren mod en div worden bij het programmeren van computers veel gebruikt.

"div" berekenen
Elke keer dat we 5 bijtellen, zal de teller een keer over de kop gaan.
C is daarom het aantal 5 tallen, dat we van N kunnen aftrekken, dus Voor een modulo m teller geldt (m = 2,3,4,.......)

Voorbeeld:
We berekenen, uitgaande van een modulo-17 teller: 1274 mod 17.
1274 / 17 = 74,94...zodat:
1274 div 17 = 74.

"mod" berekenen
Als we 5 bijtellen, zal de stand van een modulo 5 teller niet veranderen.
N kan met veelvouden van 5 worden verhoogd of verlaagd, maar T blijft gelijk.
Stel, dat 27 mod 5 moet worden berekend, dan kunnen we net zo goed
(27-5) mod 5 berekenen of (27-10) mod 5, dat levert hetzelfde antwoord op.
Bij de berekening van N mod 5 trekken we k maal (k = 0,1,2,3,....) 5 af, tot het verschil
kleiner is dan 5.
T = N mod 5 betekent dus: N - k.5 = T.
T is de rest bij deling van N door 5.
Algemeen, bij een modulo m teller: Als we bij N - k.m = T links en rechts door m delen dan:

k is het aantal "helen" in het quotient N/m. k weghalen uit N/m levert dus op T/m, een breuk.
T is dan te verkrijgen door met m te vermenigvuldigen.
Soms moet, wegens onnauwkeurigheid, een kleine afronding plaatsvinden.

voorbeeld:
we berekenen 37821 mod 31.
37821 / 31 = 1220,032258.
Haal de helen weg: dat levert 0,032258.
vermenigvuldig met 31, dat levert: 0,032258 * 31 = 0,99999.... afgerond 1
zodat 37821 mod 31 = 1.

vraag 2