Cursus Algebra (1)

inhoud deel 1
InleidingTermen samenvoegen
Negatieve getallenFactoren samenvoegen
TermenUitbreiding distributieve wet
FactorenFormules verbouwen (termen)
Termen en FactorenFormules verbouwen (factoren)
Commutatieve wetRekenregels vs. Vergelijkingen
Associatieve wetVoorbeelden
Distributieve wetCommentaar
... doe de test ...
naar deel 2

Inleiding
Wiskunde is de taal van wetenschap en techniek.
Het fundament van de wiskunde is de algebra.

Het woord "algebra" is uit het Arabisch afkomstig en afgeleid van
"Hisab al-jabr walmoeqãbala", de "leer der vergelijkingen".
Door vertaling in het Latijn is "al-jabr" veranderd in "algebra".

Algebra wordt ook wel genoemd: "rekenen met letters".
Die letters staan in de plaats van getallen die we nog niet weten.

Dit is een cursus algebra.
Er worden allerlei rekenregels behandeld voor het verbouwen van formules.
Die verbouwingen zijn nodig voor het maken van weer nieuwe formules of
het oplossen van vergelijkingen.

De voorrangsregels en het rekenen met breuken worden bekend verondersteld.
Veel plezier!

Negatieve getallen
In figuur 1. zie je een weg. Langs die weg willen we bordjes plaatsen met daarop
aangegeven de plaats waar we ons bevinden.
Dat doen we door een uitgangspunt (de oorsprong) te kiezen en op elk bordje de afstand
tot die oorsprong te vermelden.
Op het bordje bij de oorsprong staat het getal 0.

Stel eens, dat we bij bordje 4 staan en ons 3 bordjes verder willen verplaatsen.
De eerste vraag is dan : naar links of naar rechts?
Bij het verplaatsen naar rechts hoort de berekening:
Bij de verplaatsing naar links hoort de berekening: De weg van figuur 1 heeft een ernstige beperking: hij loopt dood bij de 0.
En als we de weg links van de 0 doortrekken is de vraag wat er op die bordjes moet staan.

Bij verplaatsing met 1 naar rechts vanuit 0 hoort de berekening: Bij verplaatsing met 1 naar links vanuit 0 hoort de berekening: We korten 0+1 af tot (+1) en 0-1 tot (-1).

Door een + of een - teken aan het getal toe te voegen, maken we onderscheid tussen
getallen rechts of links van de oorsprong.

In plaats van +1 of +2 schrijven we gewoon 1 of 2.
Bij de bakker vragen we ook niet om plus 6 broodjes.

In figuur 2. zie je de doorgetrokken getallenlijn, die geen begin of einde meer heeft.
Een optelling of aftrekking kunnen we voorstellen door een pijl bij de getallenlijn.

Optellen De bewerking optellen levert de som van twee getallen.
Bij figuur 3. hoort de optelling Deze berekening is te schrijven als Het + teken tussen de haakjes geeft aan, dat dit teken bij het getal hoort.
Het + teken dat niet tussen de haakjes staat geeft aan dat moet worden opgeteld.

Het verhaal bij figuur 3. luidt: we bevinden ons bij punt (+4) en voegen toe (+6),
dat is dus een toevoeging naar rechts.

Aftrekken
Figuur 3. is ook als volgt te beschouwen:
we staan bij punt (+4) en willen ons verplaatsen naar punt (+10).
De vraag: welke verplaatsing is nodig?
Uiteraard is dit het verschil anders geschreven:
oftewel: eindstand - beginstand.

Ook figuur 4. is op twee manieren te bekijken, als som en als verschil.
Als som: we staan bij punt 7 en voegen een (-6) pijl toe,
waarbij de berekening hoort Als verschil: we staan bij punt (+7) en willen naar (+1).
Daarvoor is de actie nodig (eindpunt - beginpunt), een beweging van 6 naar links.

De pijlen van figuur 5. hebben de volgende waarden:
Beschouwing als som:
Beschouwing als verschil:
Uit de bovenstaande voorbeelden volgen rekenregels voor negatieve getallen.
Toepassing
Een berg zand is 8 meter hoog. Naast de berg is een kuil van 5 meter diep.
Om vanuit de kuil de berg te beklimmen moet 8 - (-5) = 8 + 5 = 13 meter omhoog
worden geklommen.(verschil = eindpunt - beginpunt)
Opmerking: een kuil van 5 meter diep is te beschouwen als een berg met een hoogte
van (-5) meter.


Opmerking: In het vervolg schrijven we afgekort 10 in plaats van (+10).

In sommige leerboekjes staan berekeningen als 5 - -6 = 11 of 3 + -2 = 1
Twee + of - tekens vlak achter elkaar leidt makkelijk tot fouten.
Duidelijker is dan 5 - (-6) en 3 + (-2).
Ook is dan duidelijk het verschil te zien tussen het teken van een getal
en de + of - die de bewerking som of verschil aangeeft.

Waarom - - = +
Dat -(-10) = 10 is ook zo te zien:
stel dat we een schuld hebben van €10, dus een bezit van €(-10).
Als iemand die schuld van ons overneemt, wordt ons bezit €0,-.
Daarbij hoort de berekening (-10) - (-10) = 0. Ziedaar.
Verwijderen van een schuld doet het bezit toenemen.

En nog een manier:
Het verschil van twee dezelfde getallen is natuurlijk 0.
In wiskundige notatie: Wat we ook invullen voor a, dit klopt altijd.
Maar neem eens a = (-10): dan geldt dus (-10) - (-10) = 0
en dat kan alleen als -(-10) = 10.

Een verschil kan als som worden geschreven: algemeen: Het gemak van negatieve getallen
Iemand heeft twee fabriekjes.
Als het eerste fabriekje een winst heeft behaald van W1 en het tweede van W2 dan
is de totale winst W = W1 + W2.

Opmerking:
voor getallen die we nog niet weten wordt een letter ingevuld.
Zo'n letter waarvoor verschillende getallen ingevuld kunnen worden heet een variabele.
Voor de winst van de fabriekjes hadden we elke twee letters kunnen kiezen, bijvoorbeeld k en m,
maar dat is verwarrend. De W van winst is duidelijker.
Om nu onderscheid te maken tussen de winst van fabriekjes 1 en 2 voegen we een zogenaamde index
toe aan de W.
Bij W1 en W2 spreken we van geïndexeerde variabelen.

W = W1 + W2 is een voorbeeld van een formule.
Een formule is een berekening waar nog variabelen in staan.
Het is te vergelijken met een recept.

Stel nu eens, dat we niet met negatieve getallen werken en fabriekje 2 geen wist maakt
maar een verlies van V2.
Als V2 kleiner is dan W1 dan wordt de formule W = W1 - V2
maar als V2 groter is dan W1 dan wordt de formule V = V2 - W1
als V het totale verlies is.

Wat een narigheid! Afhankelijk van winst of verlies en de grootte hiervan hebben
we verschillende formules nodig om het totale bedrijfsresultaat te berekenen.
En dat zijn nog maar twee fabriekjes.

Het gemak van negatieve getallen is dat één formule volstaat: W = W1 + W2
Bij verlies moet een negatief getal worden ingevuld.
Stel, dat fabriekje 1 een winst maakt van €120.000 en fabriekje 2 een verlies van €135.000,
dan W = (W1) + (W2) = (120.000) + (-135.000) = 120.000 - 135.000 = -15.000,
een totaal verlies van €15.000.


Hierboven vulden we voor W1 en W2 getallen in.
Het vervangen van letters door getallen (of door andere letters) heeft een naam: substitutie.
Geknutsel met formules komt neer op substitutie en de toepassing van rekenregels.
Het is een veilige gewoonte om eerst haakjes om de letters te zetten en dan pas de letters
binnen de haakjes door een getal te vervangen. De kans op fouten vermindert hierdoor sterk.

Nog een voorbeeld met negatieve getallen
Een luchthaven heeft transportbanden voor de passagiers.
Een passagier beschikt over een apparaatje om de snelheid van een medepassagier
ten opzichte van hemzelf te meten.
Tussen twee stilstaande passagiers op een draaiende band wordt dus een snelheidsverschil 0 gemeten.


In figuur 6. zien we transportbanden 1 en 2, die een snelheid hebben van b1 en b2 meter per seconde.
De passagiers 1 en 2 lopen met snelheid p1 en p2 over de banden.

Passagier 1 meet zijn snelheidsverschil, dat we V noemen, met passagier 2.
We zoeken een formule voor V.

De snelheid V1van passagier 1 ten opzichte van een stilstaande passagier naast de band is: Voor passagier 2 is die snelheid: zodat het snelheidsverschil: Voordat we V1 vervangen door b1 + p1 en V2 door b2 + p2 zetten we haakjes:
V = (V2) - (V1) zodat

V = (b2 + p2) - (b1 + p1).

opmerking: het linker paar haakjes mag worden weggelaten maar het rechter paar niet, dan zou de
formule fout zijn.
We zien hier een voorbeeld van substitutie, waar een letter niet door een getal maar door
een kleine formule wordt vervangen.
Ook blijkt weer het nut vooraf haakjes om de letters te zetten.

Met de formule voor V is voor elke snelheid van de banden en de passagiers hun snelheidsverschil
te berekenen.

We spreken af dat naar rechts positief is en naar links negatief.
Stel dat: Het verschil in snelheid tussen de passagiers is -8,5m/s, dwz. 2 beweegt zich ten
opzichte van 1 met een snelheid van 8,5m/s naar links.

Dankzij wat algebra is een lastig probleem versimpeld tot het toepassen van een paar rekenregels.

Het 'x' teken voor vermenigvuldigen
De letter x wordt vaak gebruikt voor een getal dat nog moet worden uitgerekend.
De 'x' kan daarom niet als teken voor vermenigvuldigen dienst doen.
Een vermenigvuldiging wordt in de algebra met een punt '.' aangegeven.
10 keer 8 schrijven we als 10.8
Tussen twee letters of tussen een getal en een letter wordt die punt vaak weggelaten.
Dus 3ab is hetzelfde als 3.a.b wat betekent 3 keer a keer b.

Vermenigvuldigen
Zoals bekend schrijven we Dus ook : Nu geldt bij vermenigvuldigen, dat de getallen mogen worden verwisseld: Maar wat is nu de uitkomst van (-3).(-5) ?
Er zijn verschillende manieren om dat te beredeneren.

Eén ervan is een tabel te maken en regelmaat te onderzoeken: Maar er is een elegantere manier.
De rekenregels voor negatieve getallen mogen niet anders zijn dan voor positieve getallen.
Anders zouden formules een andere betekenis krijgen als de tekens van de gesubstitueerde
getallen veranderen.

Een gezin heeft twee kinderen: A (Armada) en B (Brutus).
Die krijgen per week a en b euro zakgeld.
In een goede bui besluiten de ouders het zakgeld te verdubbelen.
Zodat A nu 2a en B nu 2b euro's per week krijgt.
De ouders waren in de oude regeling per week (a + b) euro's kwijt.
In de nieuwe regeling is dat 2(a + b) euro's, zodat we zien: Deze rekenregel om een formule zonder haakjes te schrijven heet de 'distributieve wet'.(verdeelwet)
Even verder komen we de wet weer tegen.

Aan vermenigvuldigen is een meetkundige betekenis te geven omdat vermenigvuldigen
van twee getallen de oppervlakte van een rechthoek voorstelt.

In figuur 7. zie je een meetkundige voorstelling van de distributieve wet: De rechthoek heeft hoogte a, de breedte bestaat uit de som van de lengten b en c.
De oppervlakte is te schrijven als: Getallenvoorbeeld: Deze regel moet ook kloppen voor negatieve getallen.
Neem eens de berekening (-3).0
De uitkomst is natuurlijk 0, elk getal vermenigvuldigd met 0 heeft als antwoord 0.

Maar die 0 kunnen we schrijven als bijvoorbeeld (1 - 1)
En een verschil is te schrijven als som: We passen nu de distributieve wet toe, waarbij a = (-3), b = 1 en c = (-1).
We weten, dat de uitkomst 0 moet zijn, maar dat kan alleen als (-3).(-1) = (+3).

Vermenigvuldigen met negatieve getallen
Een getal verandert niet als we met 1 vermenigvuldigen.
Als we met (-1) vermenigvuldigen, dan verandert de grootte niet, maar de richting draait om.

(-5) is op te vatten als (-1).5
Vermenigvuldigen met (-5) betekent dat iets 5 maal zo groot wordt en dat ook de
richting omdraait.
Uit de bovenstaande voorbeelden en onderzoeken volgen rekenregels voor negatieve getallen.
Het "=" teken
Op de basisschool is het "=" teken het einde van een som, dus dit is goed: In de wiskunde is dit fout omdat het "=" teken gelijkheid aangeeft.
Links en rechts van het "=" teken moet hetzelfde staan.
De berekening hierboven is op correcte wijze te schrijven als Delen
-a is een verkorte schrijfwijze van (-1).a
Als a =
1
5
, dan is -a = hierboven passen we twee regels toe voor het rekenen met breuken: Algemeen: Uit het voorgaande volgen de rekenregels voor negatieve getallen bij delen:
Alleen breuken met gelijke noemer kunnen worden opgeteld.
De regel daarbij is de noemer gelijk te laten en de tellers op te tellen.
Met de 'distributieve wet' is deze regel snel te zien. Termen
Getallen die we optellen of aftrekken heten "termen". Alleen dezelfde "dingen" kunnen worden opgeteld.
Als a een aantal kippen is en b een aantal varkens, dan is de berekening niet mogelijk.

Factoren
Een getal waarmee we vermenigvuldigen heet een "factor".
Als a een aantal eieren is dan betekent 5a een aantal eieren dat vijf keer zo groot is.
Maar het resultaat is nog steeds een aantal eieren.
Dat laatste is niet zo als a een aantal personen is en w het aantal gewerkte uren per persoon.
a.w is geen aantal personen of uren maar "man-uren", een nieuw begrip.

Wat een getal voorstelt (meters, meters per seconde, ampère, seconden, kilo's ...) heet
de dimensie van een getal.
Termen zullen over het algemeen een dimensie hebben.
Alleen termen met gelijke dimensie kunnen worden opgeteld.
Een factor is dimensieloos.
Vermenigvuldigen met een factor verandert de dimensie niet.

3ab is een vermenigvuldiging van 3 factoren.
Voor de overzichtelijkheid worden de getallen links geschreven, gevolgd door de letters
in alfabetische volgorde.

Termen en Factoren
Bekijk de formule We zien 3 termen: 3a, 5b en -8c.
De eerste term, 3a, is gesplitst in 2 factoren, namelijk 3 en a.
De tweede term, 5b, is opgesplitst in de factoren 5 en b.

Bekijk de formule We zien 2 factoren, namelijk (a + 3b + 7c) en (2a - 4b + 9c).
De eerste factor is opgebouwd uit de termen: a, 3b en 7c.
Om rekenregels goed te kunnen toepassen is het noodzakelijk deze structuren te doorzien.

Hieronder volgen nog enkele elementaire rekenregels, waarna er genoeg theorie is
behandeld om formules te verbouwen en vergelijkingen op te lossen.

de Commutatieve wet (wisselwet)
voor optellen:
Algemeen: voor vermenigvuldigen:
Algemeen: De commutatieve wet geldt voor de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen en niet
voor aftrekken en delen.
immers: 10 - 3 is niet gelijk aan 3 - 10.

Wel is de Associatieve wet (koppelwet)
voor optellen
maar ook: algemeen: voor vermenigvuldigen
maar ook: algemeen: De associatieve wet geldt niet voor aftrekken en delen.
Immers: (10 - 2) - 8 is niet gelijk aan 10 - (2 - 8)

de Distributieve wet (verdeelwet)
Deze kwamen we al tegen.
deze bewerking heet wel : "haakjes wegwerken".

Omgekeerd: heet "gelijke factoren buiten haakjes halen".

Termen samenvoegen
De berekening schrijven we korter als: Algemeen: voorbeelden: Hier passen we rekenregels toe: welke getallen we ook invullen voor a,h,k,p
steeds zal links en rechts van het "=" teken hetzelfde staan.

Merk op, dat de berekening ook klopt als a een aardappel is en p een peer.

Opmerking: Opmerking Gevolg van de associatieve- en commutatieve wetten: Algemeen: Opmerking : het is hier niet interessant aan te tonen, dat dit altijd klopt.

Pas op: -b + a = a - b, het teken moet bij de variabele blijven, immers: a - b = a + (-b).

Voorbeeld In het vervolg laten we de getoonde tussenstappen weg.

Een vereenvoudiging zoals 3a + 8a = 11a is een toepassing van de distributieve wet:
de gemeenschappelijke factor a wordt namelijk buiten haakjes gehaald. Factoren samenvoegen
De berekening schrijven we korter als spreek uit: a tot de macht 5.

zodat Opmerking: een tweede macht heet een "kwadraat". spreek uit : a kwadraat voor a2.

Opmerking: a = a1

In ap heet a het grondtal en p de exponent.
De exponent geeft dus aan hoeveel factoren van het grondtal er zijn.

algemene rekenregel: In woorden: bij vermenigvuldigen van getallen met gelijk grondtal moeten de exponenten worden opgeteld.

voorbeelden: Ook is: algemeen: voorbeelden: Een toepassing van de wetten: Oftewel: Een formule als wordt overzichtelijker geschreven als Eerst getallen, dan letters in alfabetische volgorde.

Opmerking: -a2 = (-1).a2, denk aan de voorrangsregels, eerst kwadrateren.

Voorbeelden
termen samennemen: factoren samennemen: haakjes wegwerken: factoren buiten haakjes halen: Opmerking: Voorbeelden Een uitbreiding van de distributieve wet
We vragen ons af hoe de haakjes weggewerkt kunnen worden bij: Voor de hand ligt een plaatje te maken zoals figuur 7.
Het nadeel van plaatjes is echter hun beperktheid.
Ze zijn alleen te maken bij hele simpele formules, zodat afhankelijkheid ervan
belemmerend werkt.
Daarom een andere benadering: we vragen ons af waarop de formule hierboven lijkt.
Dat is natuurlijk a(b + c).

Door in a(b + c + d) de termen (c + d) te vervangen door e ontstaat die vorm: Van de tweede factor moet dus elke term met de eerste factor a worden vermenigvuldigd.

Formules met termen verbouwen
Neem eens de formule y = x + 5. Hier staat in wiskunde-taal: Nu willen we deze formule schrijven in de vorm: x = ..y..
dus alleen x links van het "=" teken.
Waarom zouden we dit trouwens willen?
In de formule y = x + 5 gaan we uit van x en y wordt berekend.
In de formule x = ..y..., gaan we echter uit van y en berekenen x.

Bedenk, dat het "=" teken gelijkheid aangeeft.
Als we een willekeurige rekenkundige bewerking doen met de hele formule links van het "="
teken en dezelfde bewerking met de hele formule rechts van het "=" teken, dan zal er
nog steeds gelijkheid bestaan.
Zo mag dus links en rechts van het "=" teken hetzelfde getal worden opgeteld of afgetrokken.

Voorbeeld
Terug naar y = x + 5:
We trekken links en rechts 5 af (of tellen -5 bij):
Algemeen
Stel eens, dat Of stel eens, dat Of als Een constructrie van de vorm formule = formule heet een vergelijking.
Algemene regel bij vergelijkingen:
Voorbeeld
Schrijf de vergelijking Voorbeeld
Anna is 5 jaar ouder dan Bertje.
Stel de leeftijd van Anna a en Bertje b dan geldt:
Formules met factoren verbouwen
Weinigen zullen ontkennen, dat links en rechts delen door 5 levert: Wat nog steeds correct is.

Vermenigvuldig nu links en rechts met 7 Nog steeds correct.

Stel eens, dat Links en rechts delen door b levert op: Merk op: Een andere aanpak:
Om in a.b de b te verwijderen moet met het omgekeerde van de factor b worden vermenigvuldigd.
b moet worden vervangen door de factor 1, die we niet opschrijven. Merk op: b · 
1
b
 = 
b
1
 · 
1
b
 = 
b
b
 = 1


Tijd om de volgende regel vast te stellen:
opmerking: p = 
p
1


Voorbeeld
Schrijf de vergelijking Voorbeeld
Als een dam dreigt te bezwijken, moeten de bewoners van een bergdorpje geëvacueerd worden.
Daarvoor worden helicopters ingezet.
Gevraagd wordt de totale tijd T van de evacuatie als
H helicopters vervoeren H.P personen in R uren.
Dat is per uur:
H.P
R
personen.
Er zijn I inwoners, dus de totale tijd Deze formule is ook te schrijven als: Deze laatste formule is handig als moet worden berekend hoeveel helicopters er nodig
zijn om de evacuatie binnen de tijd T te voltooien.


Rekenregels vs. Vergelijkingen.
Bekijk: Hier wordt een rekenregel toegepast.
welke waarde voor x ook wordt ingevuld, het bovenstaande klopt altijd.
Bekijk nu eens: Dit klopt alleen maar voor x = 7.
Hier staat een vergelijking en x = 7 heet de oplossing van die vergelijking.

Oplossen van een vergelijking komt neer op verbouwen van de formule tot de vorm x = ......
oftewel: de te vinden variabele moet in zijn eentje links van het = teken komen.

Bij de vergelijking 3x + 5 = 26 kunnen we het verhaal bedenken: We passen de behandelde regels toe, tussenstappen erbij voor de duidelijkheid. Met de voorrangsregels in gedachten merken we op dat als eerste stap 5 moet worden afgetrokken.
Immers, die 5 was ook het laatste bijgeteld en het oplossen van een vergelijking lijkt op
"terugrekenen".

Voorbeeld
los x op uit de vergelijking Opmerking:
Toepassing
Een erfenis van € 30.000 wordt verdeeld over familieleden A, B en C.
De overledene heeft bepaald dat: Hoeveel erft elk familielid?

Toepassing
De dorpjes P en Q liggen 25km. van elkaar.
Uit P vertrekt wandelaar A met snelheid 4,5km per uur naar Q.
1,5 uur later vertrekt uit Q een wandelaar met snelheid 4 km per uur naar P.

Vraag: na hoeveel tijd en waar ontmoeten zij elkaar?

Laten we het aantal gewandelde uren van A t noemen.
Als A t uren heeft gelopen, dan heeft B dus (t-1,5) uren gelopen.

A heeft dan afgelegd de afstand (snelheid * tijd) 4,5t
B heeft afgelegd: 4(t-1,5).

Op het moment van ontmoeting hebben ze samen 25km. afgelegd, zodat Ze ontmoeten elkaar 3,65 uur na de start van A.
Om het punt van ontmoeting te vinden subtitueren we 3,65 in de formule 4,5t :
Toepassing
Bekijk de formule Als y bekend is en x moet worden berekend, dan kan eenvoudig de waarde van y worden ingevuld
en x "rolt eruit".
Maar stel eens, dat we voor een groot aantal bekende waarden van x juist y moeten uitrekenen.
Dan zou de vorm y = ...x... veel handiger zijn.
We gaan de vergelijking verbouwen.

De eerste stap is de noemer (12 - y) te verwijderen door links en rechts met (12 - y)
te vermenigvuldigen:

Toepassing
Als je een willekeurige driehoek tekent en met je gradenboog de hoeken opmeet, dan vind
je steeds dat de som van de hoeken zowat 180 graden is.
Zodat de vraag opkomt: is de som van de hoeken van een driehoek 180 graden (precies)?

Hier volgt het bewijs.
Bekijk figuur 8.
De hoeken van de driehoek zijn a,b en c graden.
Een robotje loopt rond over de driehoek en moet bij elk hoekpunt een draai maken.

totaal wordt een heel rondje, 360 graden gedraaid zodat we de vergelijking kunnen schrijven: Hiermee is onze veronderstelling bewezen.
De som van de hoeken van een driehoek is altijd 180 graden.

Toepassing
Waarschijnlijk ken je de volgende regel: Maar zou de formule ook kloppen als de hoogtelijn buiten de driehoek ligt?
Bekijk eens figuur 9. We stellen vast: We zien, dat de formule ook voor driehoeken geldt met een stompe hoek.
Een hele geruststelling.



einde algebra deel 1


Test

bereken:
Normering : 5 punten voor elk goed antwoord.
Het puntentotaal is het percentage dat is gescoord.

klik HIER voor de antwoorden


Commentaar
Klik hier voor een e-mail bericht met uw