Cursus Algebra (4)

inhoudsopgave

1. negatieve getallen, termen, factoren, rekenregels,vergelijkingen

2. afronden,functies,verhoudingen,wortels,ontbinden in factoren,zwaartelijn formule

3. coördinatenstelsel,lijnen,spiegelen,verschuiven,roteren

5. machten,wortels,exponentiële functies,logaritmes,groeisnelheid,grondtal e

inhoud deel 4

Kwadratische Functies

Algemene vormen

Nulpunten

De ABC - formule

Verborgen Vormen

Enkele Kwadratische verbanden

De Parabool

De Cirkel

De Ellips

Analytische Meetkunde

doe de test

naar algebra 5

Commentaar

Kwadratische Functies
In een kwadratische functie komt de onbekende (bijvoorbeeld x) voor tot de macht 2.
De eenvoudigste kwadratische functie is
.......f(x) = x².....of...technische notatie :...... y = x²

De grafiek van zo'n functie heet een parabool. Zie hieronder.

De y-as is een symmetrie-as. Immers, als x wordt vervangen door (-x) dan verandert y niet.

Het is een zg. dalparabool omdat er een laagste punt is. De coördinaten van dat punt zijn (0,0)

Vertikaal verschuiven
Door y te vervangen door (y-1) schuiven we de grafiek 1 schaaldeel omhoog.
De functie verandert daardoor in

...........y - 1 = x².......oftewel
................y = x² + 1

algemeen:

y = x² + v .......is een (dal)parabool. De coördinaten van het laagste punt zijn (0,v)

Horizontaal verschuiven
Als x wordt vervangen door (x-1), dan schuift de grafiek 1 schaaldeel naar rechts
De nieuwe functie wordt nu

...........y = (x-1)².....of, na wegwerken van de haakjes
...........y = x² - 2x + 1

Door de horizontale verschuiving zien we in de functie een term met x verschijnen.

algemeen

y = (x-h)² is een (dal)parabool. De coördinaten van het laagste punt zijn (h,0)

Zie grafieken hieronder

Uitrekken ten opzichte van de x-as

Door y te vervangen door y/0,2 "rekken" we de grafiek een factor 0,2 uit ten opzichte van de x-as.
Dan verandert
.........y = x².........in............
......

y

0,2

 = x ² oftewel
............y = 0,2x²

Door y te vervangen door (-y) en daarna y door y / 0,1 spiegelen we eerst om de x-as om daarna de grafiek een factor 10 samen te drukken.
De resultaten staan hierboven.

.......y = -0,1x² is een bergparabool. De maximum waarde van y is 0, als x = 0.

We kunnen nu een algemene formule voor een parabool definieren, afhankelijk van uitrekking en verschuiving:

Ga uit van...........y = x²
rek de grafiek een factor a uit t.o.v. de x-as, dus vervang y door y/a


y

a

 = x ²
schuif de grafiek v omhoog (vervang y door y-v) en h naar rechts (vervang x door x-h)


y − v

a

 = (x − h) ²
y - v = a(x - h)²
y = a(x - h)² + v .................is een algemene formule voor een parabool met top(h,v)

Door voor a,h en v een waarde te kiezen ontstaat een bepaalde parabool.

Voor a > 0 is het een dalparabool, voor a < 0 een bergparabool. De top heeft coördinaten (h,v).
(de uiterste waarde heet altijd "top" ongeacht of het een berg- of dalparabool is)
De symmetrie-as heeft als vergelijking..........x = h

Voorbeelden
1.
Een parabool heeft als top (5,4) en gaat ook door het punt (7,10).
Welke functie hoort bij deze parabool?

Algemeen..............y = a(x-h)² + v.
h = 5, v = 4 ...........y = a(x-5)² + 4
maar (7,10) erop.............dus........
..............................10 = a.2² + 4
................................6 = 4a...............a = 1,5 en de functie is dus
..............................y = 1,5(x-5)² + 4...............haakjes wegwerken
..............................y = 1,5x² - 15x + 41,5

2.
Gegeven is de parabool.......y = 2x² + 8x - 15
Bepaal de symmetrie-as (dus x = ???)

Algemeen:.................y = a(x-h)² + v heeft als symmetrie-as..........x = h .......werk haakjes weg.......
..................................y = ax² - 2ahx + h² + v
we zien:....................-2ah = 8................en ook........a = 2........zodat
.......................................h = -2............dus de symmetrie-as heeft als vergelijking.......x = -2

Algemene Vormen
1. Afgesplitst kwadraat
Hiervoor zagen we de algemene vorm van een kwadratisch verband

y = a(x-h)² + v

Deze vorm heet : afgesplitst kwadraat

Het voordeel van deze vorm is, dat de symmetrie-as (x = h) en de top (h,v) direct uit de formule kunnen worden afgelezen.

2. Factoren
Uit....... y = (x - 2)(x + 3) ........volgt, na wegwerken van de haakjes....
.............y = x² + x - 6.........oftewel, een kwadratische functie

Voordeel van deze schrijfwijze is, dat de nulpunten direct zichtbaar zijn, want

(x - 2)(x + 3) = 0 ......als
of........x - 2 = 0...............x = 2
of........x + 3 = 0..............x = -3

Algemeen:
Als een kwadratische functie nulpunten x₁ en x₂ heeft, dan is de algemene vorm

y = a(x - x₁)(x - x₂)

Merk op: wegens symmetrie snijdt de de symmetrie-as de x-as midden tussen de nulpunten.

3. a,b,c vorm
In de algemene formule van een parabool
........y = a(x-h)² + v.............werken we de haakjes weg
........y = ax² -2ahx + h² + v
stellen we de constanten
.......- 2ah = b......en ...h² + v = c

dan ontstaat ook een algemene formule van een kwadratische functie

.......y = ax² + bx + c

Voordeel van deze (a,b,c) vorm is, dat eenvoudig berekeningen mogelijk zijn door gelijksoortige termen samen te voegen.
Nadeel is, dat de symmetrie-as, nulpunten en top niet direct zichtbaar zijn.
Daarvoor is eerst verbouwing naar een andere vorm nodig.

Maar uit

b = -2ah...........volgt
h = 

−b

2 a

en de symmetrie-as heeft dus de vergelijking.........x = 

−b

2 a

Voorbeelden
1.
Een parabool heeft nulpunten 3 en 10 en gaat ook door het punt (5,-20).
Welke functie heeft deze parabool?

Algemeen : y = a(x - 3)(x - 10)
(5,-20) er op, dus.
......................-20 = a(5 - 3)(5 - 10)
.....................-10a = -20.............a = 2
de functie is......y = 2(x - 3)(x - 10)......of........
.........................y = 2x² - 26x + 60

2.
Een parabool heeft top (5,3) en een nulpunt x= 2. Bepaal de functie.

De symmetrie-as is x = 5, dus het andere nulpunt is 5 + (5-2) = 8.
............y = a(x - 2)(x - 8) ....(5,3) er op, dus........
............3 = a(5 - 2)(5 - 8)
............a = -1/3...........................y = −

1

3

 (x − 2) (x − 8)

Klik [hier] voor extra opgaven [1]

Nulpunten
Een parabool heeft 0, 1 of 2 nulpunten.
Zie de grafieken hieronder.

De nulpunten zijn meteen te zien als de functie als product geschreven is.

Voorbeelden
bepaal de nulpunten van de volgende kwadratische functies:
1. (kwadraat herkennen)
........y = 4x² -20x + 25............we herkennen -20 als dubbel product....2.2.5, zodat.....
........y = (2x-5)²
...............2x-5 = 0
....................x = 2,5
merk op: de parabool raakt de x-as.

2. (som-product herkennen)
.........y = x² + x - 42
.........y = (x - 6)(x + 7)......
.........x = 6...........of..........x = -7

3.(kwadraat afsplitsen)
........y = x² -4x - 41
Hierin herkennen we geen kwadraat of som-product.
Er zit niets anders op dan verbouwing naar de vorm met afgesplitst kwadraat.
Nu is : ..............-2ah = -4........want -4 is de factor van de term met x en ook a = 1, zodat
..............................h = 2.........dus h² = 4
.......y = x² - 4x + 4 - 4 - 41..................tel 4 bij, trek 4 af
splits nu kwadraat af
......y = (x - 2)² - 45
en om de nulpunten te vinden:
............(x-2)² - 45 = 0
............(x-2)² = 45
of.........x-2 = 3 

\

5

.................of.............x-2 = −3 

\

5

...........x = 2 + 3 

\

5

...........of x = 2 − 3 

\

5

merk op: de symmetrie-as is x = 2, de nulpunten liggen aan weerszijden met afstand 3 

\

5

.... op de x-as.

4.(kwadraat afsplitsen)
.....y = 5x² + 4x - 10
.....5(x² + 0,8x - 2) = 0
..............a = 1, -2ah = 0,8...........h = -0,4.........h² = 0,16...........(0,16 erbij en eraf)
.....x² + 0,8x + 0,16 - 0,16 - 2 = 0
.....(x + 0,4)² = 2,16
of..........x+0,4 = 1,47............x = 1,07.............(afronding op 2 decimalen)
of..........x+0,4 = -1,47...........x = -1,87

De ABC - formule
Zo wordt de oplossing genoemd van de vergelijking

ax² + bx + c = 0

waarmee dus de nulpunten worden bepaald van een kwadratische vergelijking in (a,b,c) vorm.

Delen door a levert :

x ² + 

b

a

 x + 

c

a

 = 0

We willen deze vergelijking schrijven in de vorm (x+p)² = q
oftewel................x² + 2px + p² = q
Om p te berekenen vergelijken we de termen met x.........2p en b/a:

2p = 

b

a


zodat
p = 

b

2 a

................. p ² = 

b 2

4 a 2


p² bijtellen en meteen weer aftrekken...........
x ² + 

b

a

 x + 

b 2

4 a 2

 − 

b 2

4 a 2

 + 

c

a

 = 0


	2
æ x +  b 2 a ö ­ ­ è ø

 = 

b 2

4 a 2

 − 

c

a

 = 

b 2 − 4 a c

4 a 2


oplossing 1:
x + 

b

2 a

 = 

\ b 2 − 4 a c

2 a

............ x = 

−b +  \ b 2 − 4 a c

2 a


oplossing 2:
x + 

b

2 a

 = 

− \ b 2 − 4 a c

2 a

............ x = 

−b −  \ b 2 − 4 a c

2 a

Opmerking : de afzonderlijke oplossing van x worden vaak genoemd: x₁......en.......x₂
De 1) en de 2) heten de index en dienen om de verschillende waarden van x aan te geven.

Opmerking :

b² - 4ac ... heet de ... discriminant (D)

Aan de discriminant is eenvoudig te zien hoeveel oplossingen een kwadratische vergelijking heeft:

D < 0.....................0 oplossingen
D = 0.....................1 oplossing
D > 0.....................2 (verschillende) oplossingen

Voorbeelden
Onderzoek het aantal oplossingen van
1.
3x² - 5x - 1 = 0
a = 3, b = -5, c = -1.................D = b²- 4.a.c = 25 - 4.3.(-1) = 37 > 0 ..................2 oplossingen

2.
x² - 1,2x + 0,36 = 0
a = 1, b = -1,2, c = 0,36..............D = b²- 4.a.c = 1,44 - 4.1.0,36 = 0 ..................1 oplossing

3.
2x² +4x + 3 = 0
a = 2, b = 4, c = 3.................D = b²- 4.a.c = 16 - 4.2.3. < 0 ..................geen oplossing

los op:
4.
0,15x² + 3,2x - 4,7 = 0
a = 0,15.....b = 3,2...........c = -4,7. Invullen in ABC formule:
D = 3,2² - 4.0,15.(-4,7) = 13,06.................

\

d

 = 3 , 613
x₁ =

−3.2 − 3.613

2 · 0.15

 = 22.71 .......{let op, even punt en komma verwisseld wegens gebruik vreemde editor}
x₂ =

−3.2 + 3.613

2 · 0.15

 = 1.38

5.
p is een constante.
Voor welke waarde van p heeft de vergelijking p.x² - (p +24)x + 25 = 0 slechts 1 oplossing?
Als de discriminant d = 0, dus:
D = (p + 24)² - 4.p.25 = p² + 48p + 576 - 100p = p² - 52p + 576 = 0
nu is 576 = 36 . 16 en 52 = 36 + 16, zodat (rekening houdend met - teken)
(p - 16)(p - 36) = 0
oplossing 1: p = 16
oplossing 2 : p = 36 voor 1 oplossing van de vergelijking

6.
Een holle kubus heeft wanden van kleine kubusjes.
Een wand (vloer, plafond) is één kubusje dik.(zie plaatje doorsnede)
Er zijn in totaal 6536 kubusjes gebruikt.
Hoeveel kleine kubusjes telt een ribbe?

Stel een ribbe is n kubusjes lang. Dan is het aantal a = n³ - (n-2)³
a = n³ - ( n³ -2n² -4n² + 8n + 4n - 8) = 6n² - 12n + 8.
Op te lossen is dus de vergelijking:
6n² - 12n + 8 = 6536..... of........6n² - 12n - 6528 = 0. Vereenvoudigd :
n² - 2n - 1088 = 0. We passen de ABC formule toe en vinden

n₁ = 34................n₂ = -32 .....(geen betekenis in deze situatie)

7.
Een rechthoek heeft een omtrek van 100m. en een oppervlakte van 100m².
Bereken de afmetingen.
Stel de zijden a en b lang. Dan geldt : 2a + 2b = 100............a + b = 50.............b = 50 -a
a.b = 100. We vervangen deze b door 50 - a om een vergelijking met alleen a te krijgen: a(50 - a) = 100
-a² + 50 a = 100
-a² + 50 a - 100 = 0
a² - 50 a + 100 = 0...................ABC formule (a = 1, b=-50,c=100):
a₁ = 2,087...= b₂
a₂ = 47,912....= b₁

Enkele voorbeelden van kwadratische verbanden
1. de som 1+2+3+....+n
stel:
............S_n = 1+ 2 + 3 + .... + (n-1) + n.........is de som van de eerste n natuurlijke getallen............zodat ook........
............S_n = n + (n-1) + ........... 3 + 2 + 1.............optellen levert dan
..........2S_n = (n+1) + (n+1) + .................(n+1) = n(n+1)...........zodat

.............S_n = 

n (n + 1)

2

vervangen we in deze formule n door (n-1) dan ontstaat

.........S_n-1 =

n (n − 1)

2

Voorbeelden
1.
Een congres heeft 100 deelnemers. Ieder geeft alle anderen een hand.
Hoeveel keer geven alle deelnemers elkaar een hand?

Deelnemer 1 moet 99 handen schudden.
Deelnemer 2 moet dan 98 handen schudden, alle anderen minus deelnemer 1.
Dus totaal 99 + 98 +....+ 2 + 1, oftewel S₉₉ = 100(100-1)/2 = 4950.

2.
Bij een lineaire hypotheek wordt elk jaar een vast bedrag afgelost, terwijl over het niet-afgeloste deel rente moet worden betaald.
We zoeken een formule voor de totaal te betalen rente R bij een gegeven lening en looptijd.

Stel dat we een kapitaal K lenen en per jaar een bedrag a aflossen. Als na n jaren de schuld is afgelost dan is n = K/a.
De rente bedraagt r........(r = 0,05 als het rente percentage = 5)
Het laatste jaar n wordt over het bedrag a een rente betaald van ar.
Het voorlaatste jaar (n-1) moet over 2a een rente van 2ar worden betaald.........zodat
.....R = ar + 2ar + 3ar + ........nar = ar(1 + 2 + 3 + ..... + n) =

a r n (n + 1)

2

Bedenkend, dat a = 

K

n

..............R = 

K r (n + 1)

2

Jansen leent €200.000 tegen 5% rente met een looptijd van 30 jaar.
Aan rente betaalt hij dus 200.000 * 0,05 * (30 + 1) / 2 = € 155.000

3.
Nog een voorbeeld uit de economie.
Bekend is, dat het aantal bezoekers van een tentoonstelling 10.000 bedraagt bij een toegangsprijs van €5.
Bij een toegangsprijs van €15 komen er nog maar 2000 bezoekers. Ook is er een lineair verband tussen
de aantallen bezoekers en de prijs van een kaartje.
Vraag: bij welke toegangsprijs is de opbrengst zo groot mogelijk?

Eerst eens wat letters toekennen aan de variablen.
..........stel.....b : aantal bezoekers
.....................p : prijs van een toegangskaartje
.....................K : totale opbrengst

Het verband tussen b en p is dan...........
(denk aan grafiek , x-as : p, y-as : b, rechte lijn door punten (5 , 10000) en (15,2000)
dus rc = (2000 - 10000)/(15 - 5) = -800
zodat:
...........b - 2000 = -800(p - 15)
........................b = -800p + 14000
totale opbrengst
............k = b.p = p(-800p + 14000) = -800p² + 14000p

De top ligt op de symmetrie-as.....p = -14000/(2.(-800)) = €8,75
......................................................b = -800(8,75) + 14000 = 7000
......................................................k = 7000 . 8,75 = €61250

4.
Een voorbeeld uit de ICT: sorteren van een lijst getallen.
Een van de vele methodes hiervoor is de "exchange sort".
Deze houdt in dat eerst getal1 wordt vergeleken met 2, dan met 3, enzovoorts.
Als we sorteren van klein naar groot, dan dient verwisseling van de getallen plaats te vinden als getal1 groter is dan 2,3.....
Na vergelijken met het laatste getal nemen we getal2 in de lijst en vergelijken met alle volgende, enzovoort.
Stel, dat de lijst n getallen lang is:

getal1......vs 2,3,....., n...................(n-1) vergelijkingen
getal2......vs 3,4,.....,n....................(n-2) vergelijkingen
......
getal(n-1)....n......................................1 vergelijking

totaal S_n-1 = 1 + 2 + 3+.........+ (n-1) = n(n-1)/2...........vergelijkingen.

De tijd die voor het sorteren nodig is, loopt dus kwadratisch op met de lengte van de lijst.

2. de remweg van een auto
Een personenauto heeft (gemiddeld) een remvertraging van 8m/s²
Dat wil zeggen: elke seconde neemt de snelheid af met 8m/sec. Dat is een lineair verband.
We vragen ons af, hoe de remweg S samenhangt met de snelheid V van de auto.
En laten we de vertraging even a noemen.
De grafiek hieronder geeft dan het verband tussen (rem)tijd en snelheid.

Na t seconden remmen is de snelheid V = V₀ - at
(V₀ is de snelheid waarbij op de rem wordt getrapt)

De remweg is gelijk aan de oppervlakte van de gearceerde driehoek.
Verdeel de figuur maar in heel kleine kolommetjes.
De oppervlakte daarvan is snelheid*tijd, dus afstand.

Bij stilstand is.............0 = V₀ - at...................t = V₀/a.............is de remtijd.

Oppervlakte driehoek = remweg S = V₀. t / 2 = V₀ . V₀ / (2a).............zodat

............ S = 

V0 2

2 a

Er blijkt dus een kwadratisch verband te bestaan tussen snelheid en remweg.
Een twee maal zo hoge snelheid levert een vier maal zo lange remweg.

Een auto remt bij 100km/uur = 27,8m/sec. De remvertraging bedraagt 8m/sec².
Remweg S = 27,8²/16 = 48,2 meter.

Klik [hier] voor extra opgaven [2]

Verborgen Kwadratische Vergelijkingen
1.
k⁴ - 10k² + 21 = 0..................stel m = k²
m² - 10m + 21 = 0...................................herken som..product
(m-3)(m-7) = 0
of..........m = 3.............k = +-

\

3

of........m = 7...............k = +-

\

7

2.
s -

\

s

- 72 = 0............stel p² = s.......
p² - p - 72 = 0..............herken som..product
(p - 9)(p + 8) = 0
of........p = 9................s = p₂ = 81
of........p = -8...............s = 64.......kan niet, want p = 

\

s

> 0

3.
x⁸ = 10000...............ontbind, herken kwadraat - kwadraat
(x⁴- 100)(x⁴+ 100) = 0
(x² - 10)(x²+ 10)(x⁴+ 100) = 0
x = +-

\

10

4.
x⁴ - 3x³ - 28x² = 0.............x² buiten haakjes...
x²(x² - 3x - 21) = 0............herken som..product...
x²(x + 4)(x - 7) = 0
of ........x = 0
of........x + 4 = 0.............x = -4
of........x - 7 = 0.............x = 7

5.

a

x 2

 + 

b

x

 + c = 0
Vermenigvuldigen met x² levert dan.......
...........cx² + bx + a = 0

Klik [hier] voor extra opgaven [3]

de Parabool
In een coördinatenstelsel prikken we op de y-as een punt F(0,p) en bovendien trekken we de lijn y = -p.
Nu zoeken we in het coördinatenstelsel alle punten met gelijke afstand tot P en de lijn.

Opmerking: punt F heet het brandpunt en de lijn y = -p heet de richtlijn.

Welke vergelijking y = ...x..... zal dit voor die punten opleveren?

stel, het punt P(x,y) voldoet.
Dan geldt:...................FP = PQ
Nu is ..........................FP² = (y-p)² + x²
en ook........................PQ = y + p...........(zie figuur hierboven)........zodat

...................................(y-p)² + x² = (y+p)²................haakjes wegwerken
...................................y² - 2py + p² = y² + 2py + p²..............vereenvoudigen....
...................................-4py = -x²
........................................y = 

x 2

4 p

............een parabool........

PS is middelloodlijn in gelijkbenige driehoek FPQ. Uit symmetrie overweging ligt S op de x-as.
Het lijkt erop, dat SP een raaklijn is aan de parabool, maar hoe bewijzen we dat?
Welnu, door de vergelijking op te stellen van PS en de snijpunten met de parabool te berekenen.
Er is sprake van een raaklijn als er slechts 1 snijpunt is.

Om niet in de war te raken met letters, geven we P de x-coördinaat h, zodat P(h,

h 2

4 p

)
De rc van lijn SP is...........

T Q

F T

=

h

2 p

.........(zie de gelijkgemerkte hoeken in de figuur)
zodat de vergelijking van SP wordt..
.............y = 

h

2 p

 

æ	x −  h 2	ö
­		­
è		ø

.......we berekenen de snijpunten met
..............y = 

x 2

4 p

...... ...zodat
.............

h

2 p

 

æ	x −  h 2	ö
­		­
è		ø

 = 

h 2

4 p

............x − 

h

2

 = 

h

2

...........x = h

er is dus slechts 1 snijpunt, SP is raaklijn van de parabool.

Opmerking:
Bij gegeven parabool......y = 

x 2

4 p

....is de rc van de raaklijn bij x op de parabool gelijk aan ..........

x

2 p

Opmerking:
Punt F hierboven heet het brandpunt.
Stel, dat de parabool een spiegelend oppervlak heeft.
Dan zal elke vertikaal invallende lichtstraal zodanig worden gespiegeld dat hij door het punt F gaat.

Zie de figuur hierboven.
Uit de gelijkbenigheid van driehoeken (zie gelijk gemerkte hoeken) is af te leiden dat de vertikaal invallende lichtstraal
door het brandpunt F gaat.

Radarschermen, telescopen en schotelantennes hebben daarom de vorm van een parabool.
In het brandpunt bevindt zich dan de antenne.

De Cirkel
Een cirkel bestaat uit alle punten, die een gelijke afstand hebben tot een vast punt : het middelpunt.
In de figuur hieronder staat een cirkel met middelpunt M(0,0) en straal r.

We zien, dat voor bepaalde waarden van x ( -r < x < r ) er maximaal 2 waarden van y bestaan.
Daarom bestaat er geen functie, die de hele cirkel beschrijft.
Wel is een vergelijking op te stellen, waaraan elk punt op de cirkel voldoet, want uit de stelling van Pythagoras volgt:

x² + y² = r²

Met twee aparte functies kan apart de bovenste- en de onderste helft van de cirkel worden beschreven:

bovenste..................y = 

\

r 2 − x 2

onderste..................y = −

\

r 2 − x 2

In de vergelijking x² + y² = r² zien we verder dat de X-as en de Y-as symmetrielijnen zijn,
want x verwisselen door (-x) of y door (-y) levert geen nieuwe vergelijking op.
Ook verwisseling van x en y doet dat niet, zodat ook de lijn y = x een symmetrielijn is (net als y = -x).

Uit de eerder besproken regels voor verschuiving van een grafiek volgt dat

(x-a)² + (x-b)² = r²

een cirkel weergeeft met straal r en middelpunt M(a,b).

Een toepassing.
Gegeven een cirkel met straal r en middelpunt M(0,0) vragen we ons af wat de vergelijking is van de raaklijn in het punt P(p,q)

We schrijven op wat bekend is:

1.............x² + y² = r²
2.............p² + q² = r²
3.............y = ax + b.............algemene functie van een rechte lijn
4.............de richtingscoëfficiënt van MP = q/p

Functie van lijn AB wordt hiermee y = 

−p

q

 x + b
aangezien de raaklijn AB loodrecht staat op straal MP is de r.c. van AB = -p/q
Deze waarde van y substitueren we in de vergelijking van de cirkel om een vergelijking met alleen x te verkrijgen:

x ² + 

	2
æ −p q  x + b ö ­ ­ è ø

 = r ²
q ² x ² + p ² x ² − 2 b p q x + b ² q ² − q ² r ² = 0
(q ² + p ²) x ² − 2 b p q x + b ² q ² − q ² r ² = 0
r ² x ² − 2 b p q x + b ² q ² − q ² r ² = 0

Lijn en cirkel hebben 1 snijpunt P, dus de laatste vergelijking heeft 1 oplossing en de discriminant D = 0.....

4 b ² p ² q ² − 4 r ² (b ² q ² − q ² r ²) = 0
b ² p ² − r ² (b ² − r ²) = 0
b ² (p ² − r ²) + r ⁴ = 0
b ² (r ² − p ²) − r ⁴ = 0
b ² q ² = r ⁴
b = 

r 2

q

De raaklijn heeft dus als vergelijking .....................y = 

−p

q

 x + 

r 2

q

De Ellips
Een ellips ontstaat door een cirkel t.o.v. de X-as of de Y-as uit te rekken.
De vergelijking van een cirkel met straal 1 en middelpunt M(0,0) is

x² + y² = 1

We rekken de cirkel in de X-richting uit met een factor a en in de y-richting met een factor b.
Daarvoor moeten we x vervangen door x/a en y door y/b, zodat de algemene vergelijking van een ellips wordt:

	2
æ x a ö ­ ­ è ø

 + 

	2
æ y b ö ­ ­ è ø

 = 1
of
b ² x ² + a ² y ² = a ² b ²

Ellipsen ontstaan als cirkels op papier 3-dimensinaal moeten worden weergegeven,
oftewel als je schuin tegen een cirkel aankijkt.

Merk op, dat de symmetrie t.o.v. X-as en Y-as nog geldt, maar niet de symmetrie om de lijn y = x.

Een ellips kan ook op een andere (passer-achtige) manier worden verkregen.
Neem in het assenstelsel de punten F1(-p,0) en F2(p,0). F1 en F2 heten de brandpunten.
Span tussen F1 en F2 een touwtje met lengte s en beweeg een potlood over het papier waarbij het touwtje
strak tegen het potlood gespannen blijft.
Het ziet er dus naar uit, dat voor een willekeurig punt Q op de ellips geldt...............QF1 + QF2 = s.
We gaan die eigenschap bewijzen.

Daarbij schrijven we eerst alles op dat we weten.
Met het potlood in punt B geldt bijvoorbeeld dat...............BF2 + BF1 = (a-p) + (a+p) = 2a = s

F1Q + F2Q = 2a..............1)
p² = a² - b².........2)
F1Q² = (p+x)² + y²...........3)
F2Q² = (p-x)² + y²............4)

...1)...2)...3) combinerend:

\	(p + x) 2 + y 2

 + 

\	(p − x) 2 + y 2

 = 2 a


\	(p + x) 2 + y 2

 = 2 a − 

\	(p − x) 2 + y 2


(p + x) ² + y ² = 4 a ² − 4 a 

\	(p − x) 2 + y 2

 + (p − x) ² + y ²
p ² + 2 p x + x ² + y ² = 4 a ² − 4 a 

\	(p − x) 2 + y 2

 + p ² − 2 p x + x ² + y ²
4 p x = 4 a ² − 4 a 

\	(p − x) 2 + y 2


a 

\	(p − x) 2 + y 2

 = a ² − p x
a ² (p − x) ² + a ² y ² = a ⁴ − 2 a ² p x + p ² x ²
a ² p ² − 2 a ² p x + a ² x ² + a ² y ² = a ⁴ − 2 a ² p x + p ² x ²
........2) toepassen:
a ² (a ² − b ²) + a ² x ² + a ² y ² = a ⁴ + (a ² − b ²) x ²
a ⁴ − a ² b ² + a ² x ² + a ² y ² = a ⁴ + a ² x ² − b ² x ²
b ² x ² + a ² y ² = a ² b ²


	2
æ x a ö ­ ­ è ø

 + 

	2
æ y b ö ­ ­ è ø

 = 1

waarmee het bewijs is geleverd.

Merk op:
De afstand MF = p =

\

a 2 − b 2

De ellips heeft nog een interessante eigenschap:
Twee personen die beide in een brandpunt staan kunnen over grote afstand met elkaar spreken.
Een signaal dat vanuit een brandpunt rechtlijnig wordt verzonden zal door de "wand" van de ellips zodanig worden weerkaatst
dat het signaal door het andere brandpunt gaat.
Het bewijs laat ik hier achterwege.

Interessant voor het tekenen van ellipsen op een computerbeeldscherm is nog het volgende:
Een rechte lijn met hellingshoek van 45 graden raakt een gegeven ellips.
Bereken de coördinaten van dat raakpunt.
Waarom is dit interessant?
Bij het tekenen van rechte lijnen op een beeldscherm moet onderscheid worden gemaakt tussen lijnen met r.c. < 0.5
en lijnen met r.c.> 0.5.
De eerste lijnen worden getekend als y = ax, maar de tweede als x = y/a om losse punten te vermijden.
Tekenen van kromme lijnen gebeurt door benadering van kleine rechte lijnstukjes.
De gezochte coördinaten leveren dus het "omslagpunt" bij het tekenen van die lijnstukjes.

we gaan uit van de lijn y = x + n en de ellips

	2
æ x a ö ­ ­ è ø

 + 

	2
æ y b ö ­ ­ è ø

 = 1
y invullen:

	2
æ x a ö ­ ­ è ø

 + 

	2
æ x + n b ö ­ ­ è ø

 = 1


x 2

a 2

 + 

x 2 + 2 n x + n 2

b 2

 = 1
b ² x ² + a ² x ² + 2 a ² n x + a ² n ² = a ² b ²
(b ² + a ²) x ² + 2 a ² n x + a ² n ² − a ² b ² = 0

1 snijpunt, dus D = 0

4 a ⁴ n ² − 4 (a ² + b ²) (a ² n ² − a ² b ²) = 0
a ² n ² − (a ² + b ²) (n ² − b ²) = 0
a ² n ² − a ² n ² + a ² b ² − b ² n ² + b ⁴ = 0
a ² − n ² + b ² = 0
n ² = a ² + b ²
n = 

\

a 2 + b 2

..........uiteraard +-

De vergelijking van de raaklijn is dus.............y = x -

\

a 2 + b 2

Coördinaten van het raakpunt Q:

2 æ x a ö ­ ­ è ø    +  2 æ x −  \ a 2 + b 2 b ö ­ ­ è ø

=

1




x 2

a 2

 + 

x 2 − 2 x  \ a 2 + b 2  + a 2 + b 2

b 2

 = 1
b ² x ² + a ² x ² − 2 a ² x 

\

a 2 + b 2

 + a ⁴ + a ² b ² = a ² b ²
(a ² + b ²) x ² − 2 a ² x 

\

a 2 + b 2

 + a ⁴ = 0

Voor de eenvoud substituren we tijdelijk: Q² = a² + b².............

Q ² x ² − 2 a ² Q x + a ⁴ = 0
(Q x − a ²) ² = 0
x = 

a 2

Q


Uit symmetrie overwegingen moet dan zijn ....
x = 

b 2

Q

Analytische Meetkunde
Tenslotte enkele toepassing uit de meetkunde.
1.
bereken de snijpunten van de lijn y = 2x met de parabool y = 0,2x² + 2.

............0,2x² + 2 = 2x
............0,2x² - 2x + 2 = 0
............0,1x² - x + 1 = 0

ABC formule........a = 0,1...........b = -1............c = 1

...........d = b² - 4ac = 1 - 4 . 0,1 . 1 = 0,6
...........x₁ = 

1 +  \ 0.6

0.2

 = 8.87
...........x₂ = 

1 −  \ 0.6

0.2

 = 1.12

let op: even "." gebruikt ipv "," als decimaal scheidingsteken.

2.
Een lijn gaat door punt (8,9) en raakt de parabool y = -x² + 20x - 96
Welke vergelijking heeft die lijn?

Lijn algemeen:............y = ax + b..............(8,9) erop.............9 = 8a + b...........b = 9 - 8a, zodat
....................................y = ax -8a + 9

Snijpunt met parabool:

.....................................-x² + 20x - 96 = ax - 8a + 9
.....................................-x² + (20-a)x + 8a - 105 = 0
......................................x² - (20-a)x -8a + 105 = 0

Raaklijn, dus 1 oplossing, dwz discriminant d = 0

.....................................d = (20-a)² - 4.(-8a + 105) = a² - 8a - 20 = 0

....................................a₁ = 

8 −  \ 64 + 80

2

 = −2
....................................a₂ = 

8 +  \ 64 + 80

2

 = 10

De raaklijnen zijn dus

.................................y = -2x -8.(-2)+9..........y = -2x + 25
.................................y = 10x -8.10 + 9 ........y = 10x - 71

Suggestie: plot de grafieken met Graphics-Explorer

Klik [hier] voor extra opgaven [4]

Test
1....{10 punten}
De parabool y = x² wordt:
- een factor 2 tov. de x-as uitgerekt en daarna
- 5 schaaldelen naar rechts geschoven en daarna
- 3 schaaldelen omhoog geschoven

wat wordt de nieuwe vergelijking?

2 ........{2 * 5 punten}
schrijf de vergelijking in de vorm met afgesplitst kwadraat
a. y = x² - 14x + 59
b. y = -x² + 22x - 109

3. .......{2 * 5 punten}
a. Voor de samenstelling van een telefoongids moeten 100.000 namen op alfabetische volgorde worden gesorteerd.
Een computer gebruikt de "quicksort" methode doet 0,2 microseconde over het vergelijken (en rangschikken) van 2 namen.

Hoe lang zal het sorteerproces maximaal duren?

b. Een vrachtauto heeft bij een snelheid van 108km/uur een remweg van 70 meter.
Bereken de remvertraging.

4. ........{10 punten}
Een parabool heeft als top (10 , 3) en gaat door het punt (1 , 408)

geef de vergelijking in a,b,c vorm

5. .......{2*5 punten}
los x op uit:
a. 2x² - 20x + 50 = 0
b. x³+4x² - 77x = 0

6. .......{2 * 5 punten}
los x op uit:
a. 2x² - 5x + 1 = 0
b. -x² + x + 2 = 0

7........{10 punten}
gegeven zijn de parabolen:
y = -2x^{2 + 12x + 14}
y = 2x² - 32x + 110

Bereken de snijpunten

8......{10 punten}
Een parabool heeft als top (2, -1).
De lijn y = 2x - 8 raakt de parabool.

Geef de functie van de parabool in de vorm met afgesplitst kwadraat.

9.....{2 * 5 punten}
los x op:
a. x + 

60

x

 = 17
b. x⁵ - 2x³ -15x = 0

10......{10 punten} Een parabool heeft brandpunt (10,10) en richtlijn y = 2.
Bereken de vergelijking in a,b,c vorm.

De antwoorden vind je [hier]

Commentaar
Klik [hier] voor een e-mail bericht met uw

suggesties
commentaar
correcties

---

OneStat