 |
Tellen & Talstelsels (2) |
 |
Inhoud:
[1] tellen
[2] modulus rekenen
[3] gekoppelde tellers
[4] een gerobotiseerd onderdelen magazijn
[5] talstelsels
[6] negatieve getallen
[7] som, verschil, complement
[8] antwoorden
modulus rekenen
Stelling:
Bij modulus rekenen mag een term door zijn modulus worden vervangen.
Een term is een getal dat we ergens bijtellen.
31 + 56 + 23 is een optelling van 3 termen.
Stel, dat we (1000 + 3) mod 5 willen berekenen.
De uitkomst, 3, is meteen te zien.
Volgens de stelling mogen we de term 1000 vervangen door 1000 mod 5 = 0,
dat verandert de berekening in (0 + 3) mod 5 = 3.
Algemeen:
Stel y = x mod m
We bewijzen, dat (a + x) mod m = (a + y) mod m
y = x mod m betekent x = k.m + y , waarin k = 0,1,2,3,......zodat
(a + x) mod m = (a + k.m + y) mod m = (a + y) mod m
immers: de stand van een mod m teller verandert niet als we een veelvoud (k)
van m bij- of aftellen.
Stelling:
Bij modulus rekenen mag een factor door zijn modulus worden vervangen.
Een factor is een getal, waarmee we vermenigvuldigen.
31 * 56 is een vermenigvuldiging van twee factoren.
Stel, dat we (26 * 27) mod 5 willen berekenen.
Nu is 26 mod 5 =1 en 27 mod 5 = 2, zodat we, volgens de stelling, mogen berekenen:
(1*2) mod 5 = 2. Nu is 26*27 = 702, dus het antwoord klopt.
Algemeen:
Stel y = x mod m
We bewijzen, dat (a * x) mod m = (a * y) mod m
y = x mod m betekent x = k.m + y , waarin k = 0,1,2,3,......zodat
(a * x) mod m = {a * (k.m + y)} mod m = (a.k.m + a.y) mod m = (a * y) mod m
immers: de stand van een mod m teller verandert niet als we een veelvoud (a.k)
van m bij- of aftellen.
Een toepassing van modulus rekenen
Stel, dat we 1274 mod 3 willen berekenen.
In het 10-tallig stelsel is het cijfer 3 bijzonder, want:
10 mod 3 = 1
100 mod 3 = 1
1000 mod 3 = 1
enzovoorts.....
1274 = 1*1000 + 2*100 + 7*10 + 4.
Volgens bovenstaande stellingen mogen de veelvouden van 10 door 1 worden vervangen.
(1*1000 + 2*100 + 7*10 + 4) mod 3 = (1 + 2 + 7 + 4) mod 3 = 2
Met deelbaarheid bedoelen we dat de rest bij een deling 0 oplevert.
In plaats van te zeggen: 21 is deelbaar door 3, kunnen we ook schrijven:
Conclusie: om de deelbaarheid door 3 van een getal te bepalen, kan je de cijfers bij elkaar tellen en
als deze som deelbaar is door 3, dan is het getal dat ook.
vraag 3
a. zonder rekenmachine: is 1234567 deelbaar door 3?
b. voor welk cijfer geldt eenzelfde truc als voor de 3?
c. of een getal deelbaar is door 5 zie je aan het laatste cijfer. Waarom?
d. deelbaarheid door 8 zie je aan de laatste ....cijfers.
e. hoe heet een getal N waarvoor geldt: N mod 2 = 1 ?
f. waar of onwaar: N = (N div m).m + (N mod m)
g. Y is het getal X, omlaag afgerond op veelvouden van 7. Geef formule Y = ....
h. Y is getal X, omhoog afgerond op veelvouden van m. Geef formule Y = ....
